基本概念： （1） 面力、體力與應力、應變、位移的概念及正負号規定 （2） 切應力互等定理： 作用在兩個互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應力是互等的（大小相等，正負号也相同）。 （3） 彈性力學的基本假定： 連續性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。 （4） 平面應力與平面應變； 設有很薄的等厚度薄闆，隻在闆邊上受有平行于闆面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時，體力也平行與闆面并且不沿厚度方向變化。這時，
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，由切應力互等，
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，這樣隻剩下平行于xy面的三個平面應力分量，即
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，所以這種問題稱為平面應力問題。 設有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面且不沿長度變化的面力或約束，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化，由對稱性可知，
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，根據切應力互等，
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。由胡克定律，
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，又由于z方向的位移w處處為零，即
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。因此，隻剩下平行于xy面的三個應變分量，即
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，所以這種問題習慣上稱為平面應變問題。 （5） 一點的應力狀态； 過一個點所有平面上應力情況的集合，稱為一點的應力狀态。 （6） 聖維南原理；（提邊界條件） 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那麼，近處的應力分布将有顯著的改變，但是遠處所受到的影響可以忽略不計。 （7） 軸對稱； 在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。 一、 平衡微分方程：
二、 (1) 平面問題的平衡微分方程；
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（記） (2) 平面問題的平衡微分方程（極坐标）；
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1、平衡方程僅反映物體内部的平衡，當應力分量滿足平衡方程，則物體内部是平衡的。 2、平衡方程也反映了應力分量與體力（自重或慣性力）的關系。 三、 幾何方程； （1） 平面問題的幾何方程；
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（記） （2） 平面問題的幾何方程（極坐标）；
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1、幾何方程反映了位移和應變之間的關系。 2、當位移完全确定時，應變也确定；反之，當應變完全确定時，位移并不能确定。（剛體位移） 四、 物理方程； （1） 平面應力的物理方程；
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（記） （2） 平面應變的物理方程；
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（3） 極坐标的物理方程（平面應力）；
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（4） 極坐标的物理方程（平面應變）；
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五、 邊界條件； （1） 幾何邊界條件； 平面問題：
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在
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上； （2） 應力邊界條件； 平面問題：
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（記） （3） 接觸條件； 光滑接觸：
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n為接觸面的法線方向 非光滑接觸：
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n為接觸面的法線方向 （4） 位移單值條件；
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（5） 對稱性條件： 在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。 一﹑概念 1．彈性力學，也稱彈性理論，是固體力學學科的一個分支。 2.固體力學包括理論力學、材料力學、結構力學、塑性力學、振動理論、斷裂力學、複合材料力學。 3基本任務：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體内部所産生的應力、形變和位移及其分布情況等。. 4研究對象是完全彈性體，包括杆件、闆和三維彈性體，比材料力學和結構力學的研究範圍更為廣泛 5.彈性力學基本方法：差分法、變分法、有限元法、實驗法. 6彈性力學研究問題，在彈性體内嚴格考慮靜力學、幾何學和物理學 三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精确的解答；. 7.彈性力學中的基本假定：連續性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。 8.幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關系。 9.物理方程反映的是應力分量與形變分量之間的關系。 10.平衡微分方程反映的是應力分量與體力分量之間的關系。 11當物體的位移分量完全确定時，形變分量即完全确定。反之，當形變分量完全确定時，位移分量卻不能完全确定。 12.邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應力與面力之間的關系式。它可以分為位移邊界條件、應力邊界條件和混合邊界條件。 13．聖維南原理主要内容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點的主矩也相同），那麼隻在作用邊界近處的應力有顯著的改變，而在距離外力作用點較遠處，其影響可以忽略不計。 14. 聖維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那麼，這個面力就隻會使近處産生顯著的應力，而遠處的應力可以不計。這是因為主失量和主矩都等于零的面力，與無面力狀态是靜力等效的，隻能在近處産生顯著的應力。 15.求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應力法。 16.彈性力學的基本原理：解的唯一性原理﹑解的疊加原理﹑聖維南原理。 會推導兩種平衡微分方程 17.逆解法步驟：(1)先假設一滿足相容方程(2-25)的應力函數 （2）由式(2-24)，根據應力函數求得應力分量 （3）在确定的坐标系下，考察具有确定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件, 分析這些應力分量對應于邊界上什麼樣的面力，從而得知所選取的應力函數可以解決什麼樣的問題。（或者根據已知面力确定應力函數或應力分量表達式中的待定系數 18.半逆解法步驟：(1)對于給定的彈性力學問題，根據彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點或已知的一些簡單結論，如材料力學得到的初等結論，假設部分或全部應力分量的函數形式 (2)按式(2-24)，由應力推出應力函數f的一般形式（含待定函數項）； (3)将應力函數f代入相容方程進行校核，進而求得應力函數f的具體表達形式； (4)将應力函數f代入式(2-24)，由應力函數求得應力分量 (5)根據邊界條件确定未知函數中的待定系數；考察應力分量是否滿足全
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一、單項選擇題（按題意将正确答案的編号填在括弧中，每小題2分，共10分）
1、彈性力學建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結合（ C ）求解這些微分方程，以求得具體問題的應力、應變、位移。
A．相容方程 B．近似方法 C．邊界條件 D．附加假定
2、根據聖維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（ B ）的力系代替，則僅在近處應力分布有改變，而在遠處所受的影響可以不計。
A．幾何上等效 B．靜力上等效 C．平衡 D．任意
3、彈性力學平面問題的求解中，平面應力問題與平面應變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關系為（ B ）。
A．平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同
B．平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同
C．平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同
D．平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同
在研究方法方面：材力考慮有限體ΔV的平衡，結果是近似的；彈力考慮微分體dV 的平，結果比較精确。
4、常體力情況下，用應力函數表示的相容方程形式為
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，
6、設有函數
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，
（1）判斷該函數可否作為應力函數？（3分）
（2）選擇該函數為應力函數時，考察其在圖中所示的矩形闆和坐标系（見題九圖）中能解決什麼問題（l >>h）。（15分）
解：
（1）将φ代入相容方程
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，顯然滿足。因此，該函數可以作為應力函數。
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重試
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對于如圖所示的矩形闆和坐标系，結合邊界上面力與應力的關系，當闆内發生上述應力時，由主邊界和次邊界上的應力邊界條件可知，左邊、下邊無面力；而上邊界上受有向下的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶和鉛直面力。
所以,能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。
2009 ~ 2010學年第 二 學期期末考試試卷 （ A ）卷
一． 名詞解釋（共10分，每小題5分）
1. 彈性力學：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發生的應力、應變和位移。
2. 聖維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那麼近處的應力分布将有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。
應力符号的規定為： 正面正向、負面負向為正，反之為負 。4. 彈性力學中，正面是指 外法向方向沿坐标軸正向 的面，負面是指 外法向方向沿坐标軸負向 的面 。
1. （8分）彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分别對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？
答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分别對應的彈性體和特征分别為：
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二． 問答題(36)
1. （12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應用聖維南原理列出三個積分的應力邊界條件。（闆厚
）
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填空題（每個1分，共10×1=10分）。1．彈性力學的研究方法是在彈性區域内部，考慮靜力學、幾何學和物理學方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件，即 邊界條件和 邊界條件。
2．彈性力學基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。
1．平衡微分 幾何 物理 應力 位移
2．連續 均勻 各向同性 完全彈性 小變形
一、 單項選擇題（每個2分，共5×2=10分）。
1. 關于彈性力學的正确認識是 A 。
A. 彈性力學在工程結構設計中的作用日益重要。
B. 彈性力學從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學不同，不需要對問題作假設。
C. 任何彈性變形材料都是彈性力學的研究對象。
D. 彈性力學理論像材料力學一樣，可以沒有困難的應用于工程結構分析。
2. 所謂“完全彈性體”是指 B 。
A. 材料應力應變關系滿足胡克定律。
B. 材料的應力應變關系與加載時間曆史無關。
C. 本構關系為非線性彈性關系。
D. 應力應變關系滿足線性彈性關系。
3. 所謂“應力狀态”是指 B 。
A. 斜截面應力矢量與橫截面應力矢量不同。
B. 一點不同截面的應力随着截面方位變化而改變。
C. 3個主應力作用平面相互垂直。
D. 不同截面的應力不同，因此應力矢量是不可确定的。
4．彈性力學的基本未知量沒有 C 。
A. 應變分量。
B. 位移分量。
C. 面力分量。
D. 應力分量。
5．下列關于聖維南原理的正确叙述是 D 。
A. 邊界等效力系替換不影響彈性體内部的應力分布。
B. 等效力系替換将不影響彈性體的變形。
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C. 聖維南原理說明彈性體的作用載荷可以任意平移。
D. 等效力系替換主要影響載荷作用區附近的應力分布，對于遠離邊界的彈性體内部的影響比較小。
二、 計算題（共15分）
如圖所示的三角形截面水壩，其左側作用着比重為
的液體，右側為自由表面。試寫出以應力分量表示的邊界條件。
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四、計算題（共10分）
試考慮下面平面問題的應變分量有否可能存在，若存在，需滿足什麼條件？
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，
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，
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；
解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協調條件，即
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基本概念解釋（24分，6小題）
（1） 彈性力學的基本假定
（2） 平面應變問題
（3） 平面應力問題
（4） 聖維南原理
（5） 逆解法
1、 簡單題（40分，4題）
(1) 列出圖示全部邊界條件。
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(2) 求出下列應力函數的應力分量，并考察該應力函數是否滿足相容方程
A：
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B：
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(3) 根據聖維南原理，比較圖示中OA邊的面力是否等效，
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。
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2、 綜合題（36分）
（1） 設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如圖），體力不計，
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，試用應力函數
求解應力分量。
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