反證法(又稱背理法),英文名Contradiction
反證法是“間接證明法”一類,是從反方向證明的證明方法
法國數學家阿達瑪(Hadamard)的概括:“若肯定定理的假設而否定其結論,就會導緻矛盾”。具體地講,反證法就是從反論題入手,把命題結論的否定當作條件,使之得到與條件相矛盾,肯定了命題的結論,從而使命題獲得了證明。
原理反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。 實際的操作過程還用到了另一個原理,即: 原命題和原命題的否定是對立的存在:原命題為真,則原命題的否定為假;原命題為假,則原命題的否定為真。 若原命題:  為真 先對原命題的結論進行否定,即寫出原命題的否定:p且¬q。 從結論的反面出發,推出矛盾,即命題:p且¬q 為假(即存在矛盾)。 從而該命題的否定為真。 再利用原命題和逆否命題的真假性一緻,即原命題:p⇒q為真。 誤區: 否命題與命題的否定是兩個不同的概念。 命題的否定隻針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論: 原命題:p⇒q; 否命題:¬p⇒¬q; 逆否命題:¬q⇒¬p; 命題的否定:p且¬q。 原命題與否命題的真假性沒有必然聯系,但原命題和原命題的否定卻是對立的存在
證明過程注:關于相等與不等關系(>、=、<),我們有如下的否定形式: 大于反義:小于或等于 都大于 反義:至少有一個不大于 小于 反義:大于或等于 都小于 反義:至少有一個不小于它的逆否命題“若¬B,則¬A”
已知某命題:若A,則B,則此命題有4種情況: 1.當A為真,B為真,則A⇒B為真,得¬B⇒¬A為真; 2.當A為真,B為假,則A⇒B為假,得¬B⇒¬A為假; 3.當A為假,B為真,則A⇒B為真,得¬B⇒¬A為真; 4.當A為假,B為假,則A⇒B為真,得¬B⇒¬A為真; ∴一個命題與其逆否命題同真假
例舉
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