學了高中立體幾何，我們都知道錐體的體積是1/3sh。有人可能不禁要問為什麼系數是1/3，為什麼不是1/2或1/4？今天我們就來說說這個問題。

首先我們知道體積是表示立體圖形占據立體“空間”的多少，就像下面三個幾何體包含“小正方體”的多少一樣：

這樣我們就能理解長方體的體積為什麼是長×寬×高（相當于是計算長方體中包含的單位“小正方體”的數目），從而平直規整的柱體的體積也能理解了。

對于不規則的柱體，像下面這種：

這種柱體的體積又怎麼計算呢？

對于這樣的柱體可以通過祖暅原理來理解：

祖暅原理：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積都相等，那麼這兩個幾何體的體積相等.

如下圖：完全相同且數目一樣的兩堆書疊成兩摞，一摞豎直疊，一摞斜着疊，（分别對應一個直棱柱和一個斜棱柱）用平行于底面的截面截這兩個棱柱，截得的截面面積是處處相等的，而它們的體積顯然是相等的，這是祖暅原理的直觀體現。

由祖暅原理知底面積相等的如下三個柱體的體積都相等：

不過錐體（棱錐、圓錐及不規則錐體）的體積，卻不能直接按上述方法定義。我們可以回想小學時推導三角形的面積公式：兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，從而三角形的面積是：

我們可以效仿這種思維，如下圖：

三棱柱ABC-A'B'C'的底面積(即△ABC的面積)為s,高(即點A'到平面ABC的距離)為h.則它的體積為sh.沿平面A'BC和平面A'B'C,将這個三棱柱分割為3個三棱錐，其中三棱錐1,2的底面積相等(S△A'AB=S△A'B'B),高也相等(點C到平面ABB'A'的距離)；三棱錐2,3也有相等的底面積(S△B'BC=S△B'C'C)和相等的高(點A'到平面BCC'B'的距離)。因此,這三個三棱錐的體積相等，每個三錐的體積是1/3sh.

那四棱錐，五棱錐……以至于不規則錐體的體積又怎麼計算呢？我們并不能直觀地對所有棱錐用“分割轉化”的方法求得體積。可以這樣考慮，因為棱錐是一個3維空間的實體，從“等底等高”的柱體到錐體，可以看作是在維度上收縮了1/3，因此要乘以1/3。之所以說收縮了1/3，是由于這是從一個原始的面，到線，到點，跨越了三個維度。

這樣的解釋還不夠清楚，更嚴格的論證需要用到積分原理（關于積分可以參見前面的文章——怎樣理解定積分）。首先我們知道從點、線、面、體的逐級跨越中，逐漸有了長度、面積、體積的度量的逐級升級（點的度量為零）。

先看兩個例子：

圓的面積公式對半徑求導:

居然得到了圓的周長公式!

圓的周長公式對半徑積分：

居然得到了圓的面積公式!

這裡其實包含有定積分“微元法”的原理，圓的面積的“微元”是圓的周長，如圖:

圓的面積其實就是把圓的面積微元（圓周長）按半徑積分（0為積分下限，半徑長為積分上限）的結果。

再比如三角形的面積s=1/2ah ,是将三角形取“面積微元”，如平行于底做一系列平行線，得到面積的“微元”——比例線段。再将微元函數（比例線段長），按高h積分（0位積分下限，h為積分上限）得到三角形的面積：

為了計算，我們先要建立一個積分變量的x軸，原點為O,正方向豎直朝下，考慮過軸上任意一點x處的平行線（微元分割線），其長度為f(x)

由相似可知：

所以

這裡f(x)(即比例線段長)就是三角形面積的微元函數，将f(x)按高h積分便得到三角形的面積：

類比面積，我們可以用積分來求體積，比如正方體的體積

将正方體取“體積微元”，如分成無數個平行于底面的平行“切片”，切片的面積為 f(x)(即體積的微元函數)，這裡的f(x)是常數函數，f(x)= a²,将f(x)按高a積分就得到正方體的體積：

現在回到正題，為什麼錐體體積系數是1/3？

對如下任意錐體：

我們以頂點O為原點,建立積分變量的x軸(正方向豎直朝下):

取“體積微元”（平行于底面的平行“切片”），切片的面積為f(x)(即體積的微元函數)，設底面積為s,高為h.因為底面積與截面面積是相似的，由兩個相似圖形的面積比等于相似比的平方知:

則

将f(x)按高h積分得到錐體的體積：

這裡的系數1/3，本質上是因為

由“微積分基本定理”（“牛頓—萊布尼茨公式”）知：

如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數,并且

那麼有

這裡

可簡記為

顯而易見x²的原函數為1/3x³ ,所以錐體的體積便有了系數1/3。

到這裡你明白為什麼錐體（棱錐、圓錐及不規則錐體）體積系數是1/3了嗎？

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