在數字、模拟電路中，我們經常遇到帶寬（BW）和采樣頻率（Fs）這兩個參數，如何理解呢？我們通過下面一個應用實例來解釋說明一下。

第一部分 帶寬BW的意義

圖（一） 電阻R和電容C構成的一階低通濾波器

以電阻R和電容C構成的低通濾波器系統為例，如圖（一）所示，根據自控原理的理論基礎可知，其傳遞函數定義為：

（1）

其中，

，為角頻率（單位是弧度/秒）。角頻率和通常意義的頻率

（單位為Hz）之間的關系是：

。

一階低通濾波器的幅頻特性Magnitude和相頻特性Phase分别為：

（2）

（3）

由公式（2）和（3）不難得出如下結論：

（a） 當

時，

，

，即信号幅度衰減為0.707倍（-3dB），相移-45°

（b） 當

時，

，

，即信号幅度幾乎沒有衰減，相移-5.7°

（c） 當

時，

，

，即信号幅度衰減為0.1倍（-20dB），相移-84.3°

習慣上，将-3dB信号幅度衰減所對應的頻率，定義為系統的帶寬；以圖（一）所示一階低通濾波器為例，其帶寬為

。

第二部分 系統帶寬BW對不同輸入信号響應的影響

這裡還是以一階低通濾波器為模型進行說明（計算過程有興趣請參考自控原理等相關書籍），當輸入信号為：

（1） 正弦信号

即：

（4）

則：

（5）

為了方便起見，将一階低通濾波器的帶寬歸一化，即令

，對于相同幅度不同頻率的輸入信号，其輸入/輸出關系如圖（二）所示，可以看到：随着正弦輸入信号的頻率越來越高，一階低通濾波器輸出的幅值越來越小，相移越來越大。

圖（二） 一階低通濾波器對不同頻率正弦輸入信号的響應

（2） 階躍信号

即

（6）

則

（7）

從公式（7）可以看出，

settle到90%的幅值所需的時間是：

（8）

因此一階低通濾波器的帶寬

越大，則系統對輸入信号的響應越快，其輸入/輸出關系如圖（三）所示，

圖（三） 不同帶寬的一階低通濾波器對階躍信号的響應

（3） 應用實例

以上分析均基于一階低通濾波器模型，對于高階濾波器模型的帶寬及其響應，有興趣的讀者可以參考自控原理相關教材，這裡不做贅述。

MagnTek公司MT910x系列線性霍爾産品，可以用一階低通濾波器模型來近似，如圖（四）所示為典型應用框圖：MT910x檢測外界磁場信号

，并将其轉化為電壓信号

，客戶可以用ADC對輸出電壓信号

進行采樣并将其轉化為數字信号

，以便後續進行更為複雜的數字信号處理。

這裡，從

到

之間便可以用一個帶寬為30KHz的一階低通濾波器模型來近似（需要在公式（1）的分母上乘以MT910x的靈敏度）。有興趣的讀者可以推導下針對不同外界輸入磁場

，MT910x的響應

。

圖（四） MT910x系列線性霍爾産品的典型應用框圖

第三部分 帶寬和采樣率的關系

如圖（五）所示為一個典型的采樣系統：模拟輸入電壓信号Vin經過模數轉換器（ADC）采樣/量化得到Dout，Dout經過數模轉換器（DAC）得到模拟輸出電壓信号Aout，Aout經過理想低通濾波器（LPF）濾波，便可以得到平滑後的模拟電壓信号Fout。采樣定律描述的便是滿足什麼樣的條件，Fout 100%等于Vin。

圖（五） 典型的采樣系統

根據采樣定律的理論可知，要想不失真地對模拟信号進行采樣，需要滿足條件：采樣頻率Fs大于等于信号帶寬的2倍。

下面就來定性的分析一下采樣定律。在此之前先明确一個概念：根據信号與系統的相關理論，任何一個信号都有時域和頻域兩種表示方式，這兩種表示方式完全等價，并可以運用傅裡葉變換和反傅裡葉變換相互轉化。也就是說，一個信号時域波形确定了，其頻譜圖也就确定了，反之亦然。

（1） 采樣率大于信号帶寬2倍

如圖（六）所示為采樣率大于信号帶寬2倍時，圖（五）所示采樣系統各個節點處的信号，左邊的圖橫坐标是時間，縱坐标是幅值，表示該信号的時域波形；右邊的圖橫坐标是頻率，縱坐标是幅值，表示該信号的頻譜圖。

l 對于信号帶寬為BW_sig的模拟信号Vin，經過ADC采樣/量化後，可以得到數字信号Dout；

l Dout在時間和幅度上均為離散值，并且其頻譜就是Vin的頻譜在Fs整數倍（0,1,2,3...）處鏡像疊加的組合；如果ADC的采樣頻率Fs大于信号帶寬BW_sig的2倍，則Dout的頻譜如圖所示；

l 接下來的DAC僅僅是将數字信号轉換為模拟信号，并不改變信号的形狀，因此Aout和Dout的時域波形及頻譜圖均一緻；

l 理想低通濾波器的作用是将頻率小于其帶寬的信号無衰減通過，将頻率大于其帶寬的信号完全抑制。因此，如果設置濾波器帶寬BW=Fs/2，Aout經過濾波器後得到Fout的頻譜與Vin的頻譜形狀完全一樣，則Fout和Vin的時域波形也完全一樣；

圖（六） 采樣系統中采樣率大于信号帶寬2倍時各個節點的信号

從上面分析可知：當采樣率大于信号帶寬的2倍時，輸入信号Vin經過采樣系統後可以被100%還原，信息沒有發生丢失。

（2） 采樣率小于信号帶寬2倍

如圖（七）所示為采樣率小于信号帶寬2倍時，圖（五）所示采樣系統各個節點處的信号。區别在于：

l Dout的頻譜是Vin的頻譜在Fs的整數倍（0,1,2,3...）處鏡像疊加的組合；由于Fs/2<BW_sig，因此在Fs/2的奇數倍（1,3,5,7...）附近的頻譜是相鄰兩個鏡像頻譜的疊加，此疊加過程被稱為“混頻”，并且不可逆；

l 一旦混頻現象發生，無論用何種濾波器都無法使頻譜複原，如圖所示設置濾波器帶寬BW=Fs/2，Aout經過濾波器後得到Fout的頻譜與Vin的頻譜已經不再一樣了，則Fout相對于Vin的時域波形也發生了畸變；

補充一下：混頻過程既能導緻信号畸變，也能将信号上疊加的高頻噪聲“折疊到”帶寬内。

圖（七） 采樣系統中采樣率小于信号帶寬2倍時各個節點的信号

從上面分析可知：當采樣率小于信号帶寬的2倍時，輸入信号Vin經過采樣系統後無法100%還原，即信息發生丢失。

（3） 應用實例

在現實中，理想的低通濾波器是無法實現的，由于實際的低通濾波器過渡帶無法做到無限窄，如圖（八）所示，因此為了保證不發生混頻，采樣率一般會遠遠高于2倍信号帶寬。

圖（八） 實際的低通濾波器存在過渡帶

以圖（四）MT910x的典型應用為例，MT910x輸出信号的帶寬為30KHz，為了避免混疊現象的發生，充分利用MT910x的性能，建議将ADC的采樣率設置在10倍信号帶寬以上，即Fs>300KHz。

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