在高數中計算定積分常用方法?1、換元積分法第一類：基本微分公式推導的湊微分公式，下面我們就來說一說關于在高數中計算定積分常用方法?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

在高數中計算定積分常用方法

1、換元積分法

第一類：基本微分公式推導的湊微分公式

定理1：設f（u）具有原函數，u=ψ（x）可導，則有換元公式：

∫f[ψ（x）]ψ’（x）dx=[∫f(u)du]u=ψ（x）。

步驟：

（1）将被積函數中的簡單因子湊成複合函數中間變量的微分；

（2）引入中間變量作換元；（3）利用基本積分公式計算不定積分；

（4）變量還原。

常用的湊微分公式：

（1）(1/√x)dx=2d(√x)；

（2）（1/x²）dx=-d(1/x)；

（3）(1/x)dx=d（ln|x|）；

（4）exdx=dex；

（5）cosxdx=dsinx；

（6）sinxdx=-dcosx；

（7）（1/cos²x）dx=sec²xdx=dtanx；

（8）（1/sin²x）dx=-csc²xdx=-dcotx；

（9）[1/√（1-x²）]dx=d(arcsinx)=-d(arccocx)；

（10）[1/(1 x²)]dx=d(arctanx)=-d(arccotx)。

第二類：

定理2：設x=ψ（t）是單調、可導函數，并且ψ’（t）≠0，又設f[ψ（t）]ψ’（t）具有原函數，則有換元公式：∫f（x）dx=∫[f[ψ（t）]ψ’（t）dt]ψ-1（t），其中，ψ-1（t）是x=ψ（t）的反函數。

三角函數代換法：

三角替換法

√（a²-x²）=acost，令x=asint，t∈（-Л/2，Л/2）；

√（a² x²）=asect，令x=atant，t∈（-Л/2，Л/2）；

√（x²-a²）=atant，令x=asect，t∈（0，Л/2）。

簡單無理數代換法：

∫R（x，n√（ax b））dx，令t=n√（ax b）；

∫R（x，n√（ax b），m√（ax b））dx，令t=p√（ax b）（p是m，n的最小公倍數）；

∫R（x，n√[（ax b）/（cx d）]）dx，令t=n√[（ax b）/（cx d）]。

倒代換法：在被積函數中如果出現分式函數，而且分母的次數大于分子的次數，可以嘗試利用倒代換，即令x=1/t，利用此代換，常常可以消去被積函數中分母中的變量因子x。

指數代換法：令ex=t。

常用積分公式補充：

①∫tanxdx=-ln|cosx| C；②∫cotxdx=ln|sinx| C；③∫cscxdx=ln|cscx-cotx| C；

④∫secxdx=ln|secx tanx| C；⑤∫1/（a² x²）dx=（1/a）arctan（x/a） C；

⑥∫1/（x²-a²）dx=（1/2a）ln[（x-a）/（x a）] C；

⑦∫1/√（a²-x²）dx=arcsin（x/a） C（a＞0）；

⑧∫1/√（a² x²）dx=ln|x √（a² x²）| C；⑨∫1/√（x²-a²）dx=ln|x √（x²-a²）| C。

2、分部積分法（利用兩個函數乘積的求導法則推導得出）

定理1：設函數u=u（x），v（x），具有連續的導數，則∫udv=uv-∫vdu。

補充：v更容易求得；∫vdu比∫udv更易求出；

當被積函數是幂函數與正餘弦或者指數函數的乘積時，幂函數在d的前面，正餘弦或指數函數在d的後面；

當被積函數時幂函數與對數函數或反三角函數的乘積時，對數函數或反三角函數在d的前面，幂函數在d的後面；

當被積函數時指數函數與正餘弦函數的乘積是，任選一種函數湊微分，經過兩次分部積分後會還原到原來的積分形式，隻是系數發生變化，稱它為循環法；

在求不定積分的過程中，有時需要同時使用換元法和分部積分法。

3、有理函數的積分和三角函數有理式的積分

有理函數的積分：

有理函數的形式：有理函數是指由兩個多項式的商所表示的函數，即具有如下形式的函數：

P（x）/Q（x）=（a0xn a1xn-1 a2xn-2 ... an-1x an）/（b0xm b1xm-1 b2xm-2 ... bm-1x am）其中，m和n都是非負整數，a0，a1，a2，...，an及b0，b1，b2，...，bm都是實數，并且a0≠0，b0≠0。當n＜m時，稱這有理函數是真分式；當n≥m時，稱這有理函數是假分式。假分式總可以化成一個多項式與一個真分式的和的形式。

求真分式的不定積分：如果分母可以因式分解，則先因式分解，然後化成部分分式再積分。

三角函數有理式的積分：

三角函數有理式是指由三角函數和常數經過有限次四則運算所構成的函數，其特點是分子分母都包含三角函數的和差和乘積運算。由于各種三角函數都可以用sinx及cosx的有理式表示，姑三角函數有理式也就是sinx，cosx的有理式。把sinx，cosx化成tan（x/2）的函數，然後作變換u=tan（x/2）。sinx=2u/1 u²；cosx=（1-u²）/（1 u²）

并非所有的三角函數有理式的積分都要通過變換化為有理數函數的積分。

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