随着新型冠狀病毒肺炎病例的不斷上升，不少科學家對此次疫情的發展前景作出自己的預測。例如，1月21日，德國哥廷根大學教授于曉華就在社交平台上稱，自己做了一個簡單SIR模型，用SARS參數模拟武漢肺炎傳播途徑。他得出的結論認為：

從病毒暴發後的大概90天到達高峰。第一例發現在12月8日，50天左右開始集中暴發（1月20日左右，比較吻合），90天左右達到高峰（預計在3月上旬），4個月左右接近尾聲（四月上旬），5月上旬疫情結束。從目前來看，這個模型預測還是吻合疫情發展情況的。

科學家是如何用模型來推算病毒的傳播？傳染病的傳播過程是怎樣的呢？不同傳染病的傳播過程是一樣的嗎？什麼情況下，傳染病的擴散會停止？每個人的傳染程度相等嗎？

在《模型思維》這本書中，聖密歇根大學複雜性研究中心“掌門人”斯科特·佩奇為我們理解傳染病的傳播規律提供了3種簡單的模型工具。下文經授權節選自《模型思維》部分章節的内容。

《模型思維》，斯科特·佩奇著，賈擁民譯，湛廬文化|浙江人民出版社2019年11月版

撰文丨斯科特·佩奇

廣播模型

本章中介紹的所有模型都要假設存在一個相關人群，用NPOP表示。相關人群包括那些可能患上傳染病、了解信息或采取行動的人。相關人群所指的并不是一個城市或國家的全部人口。如果我們要為連續主動脈縫合法的擴散建模，那相關人群就是指心髒外科醫生，而不是居住在費城的所有人。

在任何時候，總會有些人患上了某種傳染病、了解特定信息或采取了一定行動。我們将這些人稱為感染者或知情者（用I t表示），相關人群中除了感染者或知情者之外的其餘成員則是易感者（用St表示）。這些易感者可能會感染傳染病、了解信息或采取行動。相關人群的總人數等于感染者或知情者人數加上易感者人數的總和：NPOP=I t St。

廣播模型刻畫了思想、謠言、信息或技術通過電視、廣播、互聯網等媒體進行的傳播。大多數時事新聞都是通過廣播形式傳播的。這個模型的目标是描述一個信息源傳播信息的過程，可以是政府、企業或報紙。它也适用于通過供水系統傳播污染的情況。但是，這個模型不适用于在人與人之間傳播的傳染病或思想。由于廣播模型更适合描述思想和信息的傳播（而不是傳染病的傳播），所以我們在這裡說知情者的人數，而不說感染者的人數。

在給定時間段内，知情者人數等于前一期的知情者人數加上易感者聽到信息的概率乘以易感者人數。按照慣例，初始人口全部由易感者組成。要計算未來某期的知情者人數，隻需要将知情者人數和易感者人數代入上述方程即可。由此得到的将是一個r形采用曲線。

想象一下：某個擁有100萬居民的城市的市長宣布了一項新的稅收政策。在他宣布之前，沒有人知道這項政策。假設某人在任何一天聽到這個新聞的概率等于30％（即，Pbroad=0.3），那麼第一天會有30萬人聽到這個新聞。在第二天，剩下的70萬人中有30％的人，即21萬人會聽到這個新聞。在每一個時期，知情者的人數都會增加，并且以一個遞減的速度增加，如圖11-1所示。

在廣播模型中，相關人群中的每一個人最終都會知悉信息。如果有适當的數據，就可以估計出相關人群的規模。假設一家企業為練習太極拳的人推出了新設計的運動鞋，并在第一個星期就收到了20 000雙鞋的訂單。如果在第二個星期收到了16 000雙鞋的訂單，那麼我們可以大緻估計出他們最終的總銷售量，也就是相關人群的規模為100 000。

當然，對于根據僅有的兩個數據點估計出來的任何結果，我們都不應該抱以太大的信心。這個模型無疑遺漏了許多現實世界的特征。人們既可能通過傳媒獲悉相關消息，也可能通過口耳相傳聽到消息，而且有些人可能會購買不止一雙鞋子，或者可能存在針對潛在消費者的廣告，等等。如果把這些因素都包括進去，估計出來的結果肯定會有所不同。盡管必須牢記這個注意事項，但是這個模型确實提供了一個粗略的估計。這個企業不應該期望能夠賣出200萬雙鞋，但是應該有信心可以賣出不止100 000雙鞋。随着更多數據的出現，估計結果是可以得到改進的。如果第三個星期的銷售額是13 000雙（這等于模型預測的數量），那麼這個企業對當初的預測可以寄予更大的信心。

擴散模型

大多數傳染病，以及關于産品、思想和技術突破的信息，都是通過口口相傳而傳播開來的，擴散模型刻畫了這些過程。擴散模型假設，當一個人采用了某種技術或患上了某種傳染病時，這個人有可能将之傳遞或傳染給與他接觸的人。在傳染傳染病的情況下，個人的選擇不會在其中發揮任何作用。一個人患上某種傳染病的概率取決于諸如遺傳、病毒（細菌），甚至環境溫度等因素。在炎熱潮濕的季節，瘧疾的傳播速度要比在寒冷幹燥的季節快得多。

技術的傳播則與采用者的選擇有關，因此更有用的技術被采用的概率更高。但是在這裡，我們并沒有在模型中明确将這種情況選擇考慮在内。這樣一來，蘋果智能手表的新潮性就發揮了與流感病毒同樣的作用。

在這裡，我們更看重的是信息的傳播，因此我們将人們分為知情者或不知情的新人。如果新人與知情者相遇且信息在他們之間傳播，那麼新人就會變成知情者。這種事件的發生，因環境而異。生活在城市中的人，相遇的概率可能比生活在農村的人更高，同時也有更高的接觸概率。非常吸引人眼球的新聞也比一般的新聞被分享的概率更高，例如，關于外星人降臨登陸的新聞被分享的概率比關于M＆M公司的椒鹽卷餅重新上市的新聞更容易被分享。因此，我們可以将擴散概率（diffusion probability）定義為接觸概率（contact probability）和分享概率（sharing probability）的乘積。我們可以根據擴散概率來構建模型，但是在估計或應用模型時，必須獨立地跟蹤接觸概率和分享概率。

擴散模型假定随機混合（random mixing）。随機混合的含義是，相關群體中任何兩個人接觸的可能性都相同。對于這個假設，我們應該保持警惕。就描述幼兒園内傳染病傳播的擴散模型而言，這可能是一個準确的假設，因為幼兒園裡兒童之間的相互接觸是高頻率的。但是，如果将它應用于城市人口則是有問題的。在城市中，人們并不是随機混合的。人們在一定的社區中生活，在一定的場所内工作，他們屬于工作團隊、家庭和社會團體，他們的互動主要發生在這些群體中。但是同時也不要忘記，一個假設要成為有用模型的一部分，其實不一定非得十分準确不可。因此，我們将繼續使用這個假設，同時保持開放的心态，在需要改變的時候随時改變這個假設。

在這個模型中，與在傳播模型中一樣，從長期來看，相關人群中的每個人都會掌握信息。不同的是，擴散模型的采用曲線是S形的。最初，幾乎沒有人知情，I 0很小。因此，能夠與知情者接觸的易感者人數也必定很小。随着知情者人數的增加，知情者與不知情者之間接觸的機會增加，這又使知情者的人數更快地增多。當相關人群中幾乎每個人都成了知情者時，新知情的人數會減少，從而形成了S形的頂部。技術的采用曲線通常也具有這種形狀。例如，雜交種子的采用曲線雖然因州而異（艾奧瓦州采用雜交種子的速度比亞拉巴馬州更快），但是所有州的采用曲線都是S形的。

在廣播模型中，根據數據估算相關人群規模是一件相當簡單的事情。采用者的初始數量與相關人群規模密切相關。與此相反，利用擴散模型的數據估計相關群體的規模可能會非常困難。産品銷售量的增加，可能是由于一個很小的相關人群内部的高擴散概率，也可能是由于一個很大的相關人群中的低擴散概率。

圖11-2顯示了兩個假想的智能手機應用程序的相關數據。在第一天，每個應用程序都有100人購買。在接下來的5天中，應用程序1擁有更高的總銷量和更快的銷量增長。如果沒有模型，我們很可能會預測應用程序1擁有更大的市場。但是，用模型拟合這兩組數據的結果表明，事實與我們猜想的恰恰相反。

應用程序1拟合的擴散概率為40％，相關人群規模為1 000人；而應用程序2的擴散概率為30％，相關人群規模為100萬人。4事實上，隻要再過幾天，我們就會觀察到應用程序2的相關人群更大。但是，如果沒有模型，如果不能根據前5天的數據來進行分析，我們就可能會對總銷售額給出不正确的推斷。

在使用擴散模型來指導行動的時候，我們必須将擴散概率分解為分享概率和接觸概率的乘積。為了提高應用程序的銷售速度，開發人員既可以設法提高人們相互接觸的概率，也可以設法加大他們分享關于應用程序信息的概率。要想改變第一個概率是很困難的。為了增大第二個概率，開發人員可以為帶來了新注冊用戶的老用戶提供一些激勵，事實上，許多開發人員都是這樣做的，比如遊戲開發者可能會給帶來了新注冊玩家的老玩家獎勵遊戲積分。雖然這樣做能夠增加擴散速度，但是并不會影響總銷量，至少根據這個模型來看不會有影響。如上所述，總銷量等于相關人群的規模，而與分享概率高低無關，提高銷售速度不會帶來長期的影響。

大多數消費品和信息都是通過廣播和擴散傳播的。而巴斯模型則将這兩個過程組合在一起了。5巴斯模型中的差分方程等于廣播模型和擴散模型中的差分方程之和。在巴斯模型中，擴散概率越大，采用曲線的S形就越顯著。電視、收音機、汽車、電子計算機、電話機和手機的采用曲線形狀都是r形和S形的組合。

SIR 模型

到目前為止，在我們已經讨論過的模型中，一旦有人采用了一項技術，則永遠不會放棄它。對于電力、洗碗機和電視等技術來說，确實如此：一旦采用之後，一般永遠不會不采用。但這并不适用于所有通過擴散傳播的事物，例如我們患上了某種傳染病之後不久就會恢複健康，或者當我們采用了某種流行款式或參加了某項潮流運動之後（例如，某種時裝或舞蹈），是以放棄的。遵循慣例，我們将放棄所采用的某種事物的人稱為痊愈者。由此産生的模型，即SIR模型（易感者、感染者、痊愈者），在流行病學中占據了中心位置。

由于這個模型起源于流行病研究領域，同時也因為考慮傳染病的痊愈更為自然，因此我們以傳染病的傳播為例來描述SIR模型。為了避免過于複雜的數學計算，我們假設治愈傳染病的人會重新進入易感人群，也就是說治愈傳染病并不會産生未來對傳染病的免疫力。

流行病學家對接觸概率和傳播概率會進行單獨跟蹤，我們也會這樣做。接觸概率取決于傳染病如何從一個人傳播到另一個人。艾滋病通過性接觸傳播；白喉通過唾液傳播；流感病毒通過空氣傳播。因此，流感的接觸概率高于白喉，白喉的接觸概率又高于艾滋病。而且，在發生接觸後，各種傳染病的傳播概率也會有所不同。白喉比SARS更容易傳染給另一個人。

SIR模型會産生一個臨界點，就是所謂的基本再生數R0，也就是接觸概率乘以擴散概率與痊愈概率之比。某種傳染病，如果R0大于1，那麼這種傳染病就可以傳遍整個人群，而R0小于1的傳染病則趨于消失。在這個模型中，信息（或者，在這個例子中是傳染病）并不一定會傳播到整個相關人群。能不能做到這一點取決于R0的值。因此，像疾病控制中心這樣的政府機構必須依據對R0的估計來指導政策制定。

如表11-1所示，麻疹可以通過空氣傳播，因而它的再生數高于艾滋病，艾滋病隻能通過性接觸和共用針頭傳播。對R0的估計假設人們不會為了應對傳染病而改變行為。

然而，當學校裡虱子肆虐時，家長的反應可能是讓孩子待在家中，以降低接觸概率，還可能會剃光孩子的頭發，減少接觸發生時傳播的可能性。這兩種行為變化都會降低虱子傳播的R0。在沒有疫苗的情況下，檢疫是一個選擇，但是成本很高。如果存在疫苗，那麼疫苗接種可以預防傳染病傳播。即便做不到每個人都接種疫苗，也可以預防傳染病傳播。必須接種疫苗的人的比例，即疫苗接種阈值（vaccination threshold），可以通過公式VıR010求出。我們可以從上述模型中推導出這個公式。

疫苗接種阈值随R0的增加而提高。例如，脊髓灰質炎的R0為6，因此為了防止脊髓灰質炎的傳播，疫苗必須覆蓋5/6的人群。而麻疹的R0為15，為了阻止麻疹的傳播，疫苗必須覆蓋14/15的人口。疫苗接種阈值的數學推導也為決策者提供了指引，如果接種疫苗的人數太少，這種傳染病就會傳播開來，因此政府接種疫苗的次數會超過模型估計的阈值。對于麻疹和脊髓灰質炎等R0非常高的傳染病，政府将努力保證所有人都接種疫苗。

有些人擔心疫苗有副作用，選擇不參加疫苗接種計劃。如果這些人隻占人口的一小部分，那麼其他人接種疫苗也可以防止這些人感染這種傳染病，流行病學家将這種現象稱為群體免疫力。選擇不接種疫苗的人事實上是搭了其他接種疫苗的人的便車。

作者丨斯科特·佩奇

摘編丨李永博

編輯丨徐悅東

校對丨翟永軍

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