高考要求

等差、等比數列的性質是等差、等比數列的概念，通項公式，前n項和公式的引申 應用等差、等比數列的性質解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運算時達到運算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視 高考中也一直重點考查這部分内容

重難點歸納

1 等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題的既快捷又方便的工具，應有意識去應用

2 在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行适當變形

3 “巧用性質、減少運算量”在等差、等比數列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目标意識”，“需要什麼，就求什麼”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目标，往往能取得與“巧用性質”解題相同的效果

典型題例示範講解

例1已知函數f(x)= (x<－2) (1)求f(x)的反函數f-－1(x);

(2)設a1=1, =－f－-1(an)(n∈N*),求an;

(3)設Sn=a12 a22 … an2,bn=Sn 1－Sn是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由

命題意圖 本題是一道與函數、數列有關的綜合性題目，考查學生的邏輯分析能力

知識依托 本題融合了反函數，數列遞推公式，等差數列基本問題、數列的和、函數單調性等知識于一爐，結構巧妙，形式新穎，是一道精緻的綜合題

錯解分析 本題首問考查反函數，反函數的定義域是原函數的值域，這是一個易錯點，(2)問以數列{}為橋梁求an,不易突破

技巧與方法 (2)問由式子得=4,構造等差數列{},從而求得an,即“借雞生蛋”是求數列通項的常用技巧；(3)問運用了函數的思想

解 (1)設y=,∵x<－2,∴x=－,即y=f－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，∴{}是公差為4的等差數列，

∵a1=1, = 4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=

(3)bn=Sn 1－Sn=an 12=,由bn<,得m>,

設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數，∴g(n)的最大值是g(1)=5,

∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N*有bn<成立

例2設等比數列{an}的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等于偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數列{lgan}的前多少項和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)

命題意圖 本題主要考查等比數列的基本性質與對數運算法則，等差數列與等比數列之間的聯系以及運算、分析能力

知識依托 本題須利用等比數列通項公式、前n項和公式合理轉化條件，求出an;進而利用對數的運算性質明确數列{lgan}為等差數列，分析該數列項的分布規律從而得解

錯解分析 題設條件中既有和的關系，又有項的關系，條件的正确轉化是關鍵，計算易出錯；而對數的運算性質也是易混淆的地方

技巧與方法 突破本題的關鍵在于明确等比數列各項的對數構成等差數列，而等差數列中前n項和有最大值，一定是該數列中前面是正數，後面是負數，當然各正數之和最大；另外，等差數列Sn是n的二次函數，也可由函數解析式求最值

解法一 設公比為q,項數為2m,m∈N*,依題意有

化簡得

設數列{lgan}前n項和為Sn,則Sn=lga1 lga1q2 … lga1qn－1=lga1n·q1 2 … (n－1)

=nlga1 n(n－1)·lgq=n(2lg2 lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2 (2lg2 lg3)·n

可見，當n=時，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5項和最大

解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108 (n－1)lg,

∴數列{lgan}是以lg108為首項，以lg為公差的等差數列，

令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5 5

由于n∈N*,可見數列{lgan}的前5項和最大

例3　等差數列{an}的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_________

解法一由等差數列{an}的前n項和公式知，Sn是關于n的二次函數，即Sn=An2 Bn(A、B是常數）将Sm=30,S2m=100代入，得

,∴S3m=A·(3m)2 B·3m=210

解法二根據等差數列性質知 Sm,S2m－Sm,S3m－S2m也成等差數列，

從而有 2(S2m－Sm)=Sm (S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210

解法三 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1 a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70 (70－30)=110∴S3=a1 a2 a3=210

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