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極坐标求二重積分圖解

生活 更新时间:2025-01-09 18:07:33

極坐标求二重積分圖解(極坐标下的二重積分-圖解高等數學-下)1

12.3 極坐标下的二重積分

如何用極坐标來表示二重積分, 從而更加方便的進行計算, 它的計算公式如何推導請看本節内容.

用極坐标表示二重積分與直接坐标系下的二重積分一樣, 在極坐标系下也是将整個區域分割成一系列小塊, 請看下面的動畫所示劃分過程, 橙色的小區域不斷地變小:

極坐标求二重積分圖解(極坐标下的二重積分-圖解高等數學-下)2

假設如果函數 f(r,θ) 定義在區域 R 上, 其邊界為 θ=α, θ=β, 和曲線 r=g1(θ) 和 r=g2(θ). 觀察下面的動畫, 在區域 R 内小矩形為淺藍色. 随着不斷分割, 這些極坐标下的小矩形越來越小.

極坐标求二重積分圖解(極坐标下的二重積分-圖解高等數學-下)3

觀察上圖, 設 (rk,θk) 為面積為 ∆ A 的小塊中心, 然後有下面和式:

極坐标求二重積分圖解(極坐标下的二重積分-圖解高等數學-下)4

如果 f 在區域 R 上連續, 當網格不斷細分後, ∆ r 和 ∆ θ 都趨于0. 這時 S 會趨于極限值. 此極限為 f 在 R 上的二重積分, 記為:

極坐标求二重積分圖解(極坐标下的二重積分-圖解高等數學-下)5

将上面∆ A 代入和式中, 則累次積分為:

極坐标求二重積分圖解(極坐标下的二重積分-圖解高等數學-下)6

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