有人認為量子化的概念太過難以理解，其實仔細分析起來，連續性才是一個更讓人難以理解的概念。比如說，你能說出哪個數字和1是連續的嗎？是1.1？還是1.000001？還是1.00000000001？無論你說出哪個數字，還是有無數個數字夾在它和1中間，那到底哪個數字才和1連在一起呢？連續性在數學上都難以做到，描述真實世界的物理量又如何能做到呢？

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有人說了，我雖然沒法連續數數，但我可以在紙上畫一條線，這條線不就是連續的嗎？是嗎？讓我們在紙上畫一條線，然後用放大鏡來仔細看看。還是連續的嗎？好，拿掃描隧道顯微鏡放大上千萬倍看看。你隻會看到一個一個的原子在不停地振動，它們還是連續的嗎？

還有人不服氣，那時間和空間總該是連續的吧？其實這也隻是人們頭腦中的一種想象，實際上，時間和空間也是不連續的。這一點，我們可以從古希臘哲學家芝諾提出的阿基裡斯與烏龜賽跑的悖論來分析。

3.1 芝諾悖論：你能追上烏龜嗎？

阿基裡斯是古希臘神話中的跑步健将。假設他和烏龜賽跑，他的速度為烏龜的10倍，烏龜在其前面10m處出發，他在後面追。芝諾可以證明，阿基裡斯永遠不可能追上烏龜！

當阿基裡斯追到10m時，烏龜已經向前爬了1m；而當他追過這1m時，烏龜又已經向前爬了0.1m，他隻能再追向那個0.1m（見圖3-1）。因為追趕者需要用一段時間才能達到被追者的出發點，這段時間内被追者已經又往前走了一段距離，所以被追者總是在追趕者前面。這樣，阿基裡斯就永遠也追不上烏龜！

這個悖論的問題出在哪兒呢？乍一看，其邏輯推理确實是無懈可擊的，但實際上這個推理建立的基礎是：時間和空間是可以無限分割的。

因為芝諾将追趕的過程分成了無窮多個部分，到後來阿基裡斯與烏龜的距離無窮小，追上這段距離所需的時間也無窮小。如果時空真能無限分割，那麼他就永遠也追不上。

數學家們是這麼解釋的：阿基裡斯雖然需要追趕無窮多段路程，每一段路程也需要一定時間，但這無窮多個時間構成的是收斂數列，也就是說，這個無窮數列的總和是有限的。假設阿基裡斯速度是10m/s，則這無窮多個時間的總和是10/9s，即

但是數學家們顯然回避了另一個問題，就是阿基裡斯如何在有限的時間裡完成這無窮多個過程？隻要是無窮，那就沒有盡頭，他怎麼能一眨眼間就完成了呢？

3.2 玄而又玄的無窮

事實上，問題就出在這個無窮上。無窮大和無窮小都是數學中制造出來的很玄虛的概念，很多悖論都是在此基礎上産生的。為什麼說無窮大和無窮小很玄虛呢？我們來看看下面的例子。

正整數有無窮多個，正整數的平方也有無窮多個，即

那麼到底是正整數多呢，還是它們的平方數多呢？數學家們認為它們是一樣多的，因為上下兩列數字建立了一一對應關系。

可是從另一個角度看，平方數明明隻是正整數的一部分，平方數應該遠遠少于正整數啊。從這個角度來看，平方數隻和正整數中的一小部分建立了一一對應關系，即

這兩個數列都包含無窮多個數，也就是說它們的個數都是無窮大，那麼這兩個無窮大到底是什麼關系呢？真是讓人困惑。

無窮小也很玄虛。無窮小到底是多小？無窮小加無窮小是多少，無窮小乘無窮小呢，都是無窮小嗎？多少個無窮小相加才能不是無窮小呢？恐怕誰也說不清楚。

無窮。圖片來自網絡

造成上述糊塗賬的原因就在于，無窮大和無窮小都是人們頭腦中想象出來的東西，在真實世界中是不存在的！

事實上，人人都知道阿基裡斯很快就能追上烏龜，既然如此，那就證明芝諾這個推理的基礎是錯的，也就是說，他不能将追趕的過程分成無窮多個部分，時間和空間是不能無限分割的，或者說，時間和空間是不連續的！

3.3 時空是量子化的

現代物理理論認為，時空是不能無限分割的，時空也存在着不可分割的基本結構單元，長度的最小單元大約是10−35m，時間的最小單元大約是10−43s，低于這兩個值的時空是無法達到的，也是沒有意義的。

由此看來，時空也是不連續的，也是量子化的，時空流逝就像放電影一樣，一幀一幀疊加起來，看上去是連續的，實際上是以我們人類察覺不到的微小單元在前進。

普朗克長度實在是太小了，要知道，原子的尺度是10−10m，原子核的尺度是10−15m，而普朗克長度比原子核還小20 個數量級。打個比方來說，如果把普朗克長度放大到大頭針針尖大小，那麼大頭針就會有宇宙那麼大。普朗克時間也極其微小，這正是我們以為時空是連續的原因。

3.4 運動是連續的嗎？

既然時空是不連續的，那麼很自然就會得出運動也是不連續的結論。由于目前實驗條件的限制，科學家還無法直接觀察到微觀粒子的運動狀态，因此對不連續運動的研究比較少，而且還停留在理論階段。

近幾年有學者提出了一個嘗試解釋運動本質的“量子跳躍／量子停止”假說。這一甚為大膽的假說認為：當把某一粒子的運動的宏觀軌迹無限細分之後，細分後的每一段隻能是由兩種狀态組成：一是“量子跳躍”，指粒子由空間的一點運動到另一點，而時間在這一過程中是停止的；另一狀态是“量子停止”，即粒子停止在空間内的某一點，而時間是流逝的。圖3-2中，Δr 表示量子跳躍的距離，Δt 表示量子停止的時間。

愛因斯坦早已在相對論中指出時間和空間構成了四維時空，我們是在四維時空中運動。“量子跳躍／量子停止”假說則指出：粒子隻能在時間維度和空間維度中輪流運動，而在四維時空裡連續運動的狀态是不存在的。這種假說是否正确當然現在沒有定論，但不連續運動這一問題卻值得我們深思和探讨。

3.5 量子化才是世界的本質

既然無法找到真正連續的東西，那麼連續隻能是數學中的一個理想化的概念，在物理學中，在真實的世界中，量子化才是世界的本質！所以說，雖然普朗克自己并沒有意識到，但他的量子化假設卻開啟了人類真正認識世界的大門。

需要特别說明的是，量子化和不連續也是有區别的。打個比方，假如說能量量子是1，那麼能量的取值就隻能是：

1，2，3，4，…

即1 的整數倍，這叫量子化。如果你給定一系列能量，比如說：

1，1.5，2，2.5，…

盡管也是不連續的，但卻與量子化不符。也就是說，量子化是不連續的，而且是有嚴格限定條件的不連續。

這看起來好像也是難以理解的，不過當你想想構成世界的原子隻能是1個、2 個、3 個……電子隻能是1 個、2 個、3 個……基本粒子隻能是1 個、2 個、3 個……而沒有半個。類比一下，你應該就能理解為什麼能量也是1 份、2 份、3 份……了吧。

（摘自《從量子到宇宙》，作者：高鵬。）

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