本來隻想傳思維導圖的，無奈這個太小太不清晰了，隻好複制一些文字現實，排版較亂，能看圖的建議直接看圖

數學分析

• 一，實數與數列極限
• 基礎知識
• 實數的基本性質與常用不等式
• 數列與極限
• 收斂數列性質
• 發散數列與子式
• 确界原理
• 數列收斂的判别法
• 三角不等式：對∀a,b ∈R 有 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|
• 伯努利不等式：對∀n∈N ,且n≥2；∀h∈R,且h＞-1，有(1 h)和的n次方≥1 nh ；等号成立當且僅當h=0
• 對四則運算封閉
• 有序性：∀a,b ∈R, ab,三個關系中有且隻有一個成立，且大小具有傳遞性：如a
• 阿基米德性：∀a,b ∈R, ∃n∈N ,使得na>b
• 稠密性：∀a,b ∈R, ∃c∈R ,滿足a
• 連續性：表現為，全體實數與數軸上的點是一一對應的
• 實數基本性質
• 常用不等式
• 實數集R
• 自然數集N
• 整數集Z
• 有理數集Q
• 無理數集R\Q
• 正整數集N
• 區間
• 鄰域
• 包括0
• 對四則運算封閉
• 對于∀x ∈Q ,都可以表示為p/q ,p∈Z ,q∈N ,且p,q互質
• (a, ∞)
• [a, ∞)
• (-∞,b)
• (-∞,b]
• (-∞, ∞)
• (a,b]
• [a,b)
• 開區間 (a,b)
• 閉區間 [a,b]
• 半開半閉區間
• 無限區間
• 不包含點a
• U(a;δ)：表示與點a的距離＜δ的實數x的全集，即{x|0<|x-a|<δ},簡記U(a)
• 左半鄰域U-(a)
• 右半鄰域U (a) -
• 去心鄰域U。(a)
• 左半去心鄰域U。-(a)
• 右半去心鄰域U。 (a)
• 若命題A 可以表示為若p成立，則q成立
• A的否命題為若p不成立，則q不成立
• 原命題與逆否命題等價
• 對任意給定的∀
• 存在 ∃
• 存在唯一一個 ∃!
• 等價于<=>
• 小于等于≤
• 常用記号
• 命題與否命題
• 特殊數集
• 數列與極限
• 确界原理
• 定義：按自然數1，2，3....編号依次排列的一列數：a1,a2,a3,...an...稱為無窮數列，簡稱數列 記作{an}
• 收斂數列：有極限
• 有界數列
• 發散數列
• 無窮數列
• 性質
• 數列{an}收斂于a的 充要條件 數列{an-a}是無窮小數列
• 數列{an}收斂于a的 充要條件 數列{|an|}是無窮小數列
• 設{an}是無窮小數列，{bn}是有界數列，則{an.bn}是無窮小數列
• 無窮小數列：數列{an}，如果 lim an=0 (n->∞)
• 無窮大數列：數列{an}，如果 lim an=±∞ (n->∞)
• 偶子列：nk=2k 時，子列{a2k}是{an} 的偶子列
• 奇子列：nk=2k-1 時，子列{a2k-1}是{an} 的奇子列
• 發散判斷方法
• {an}中有一個子列發散==》{an}發散
• {an}中兩個收斂子列具有不同的極限==》{an}發散
• 柯西收斂否定形式：{an}發散<==>存在ε0>0，使任意N∈N ，存在n0>N ，存在p0∈N ，滿足 |an0 p0 - an0|≥ε0
• 定義：{an}數列沒有極限
• 精确定義：設{an}，若對任意實數a，{an}都不收斂于a，即∀a∈R，∃ε0＞0，∀N∈N ，∃n0＞N，使得|an0-a|≥ε0
• 子列：設{an}，{nk}為正整數集N 的無限子集，且n1
• 若不是有界數列，則稱為無界數列
• 設數列{an}，若∃L∈R，使得an≥L對所有n∈N 成立，則稱{an} 有下界的，L是一個下界
• 設數列{an}，若∃M∈R，使得an≤M對所有n∈N 成立，則稱{an} 有上界的，M是一個上界
• 數列有上界
• 數列有下界
• 定義：若{an}既有上界又有下界，則稱為有界數列
• 唯一性
• 有界性
• 保不等式性
• 保号性
• 四則運算法則
• 收斂數列{an}極限a隻有唯一的一個
• 收斂數列一定是有界數列
• 收斂數列{an}必有界
• 一：若lim an=a ,lim bn=b，且a>b，那麼存在N ∈N ，使當n>N時，有an>bn
• 二：設{an}，{bn}都收斂，如果存在正數N0，使當n>N0時，有 an≥bn，那麼lim an ≥ lim bn (n-->∞)；特别地，當n＞N0時，有an≥0，則lim an≥0 (n-->∞)
• 如果lim an = a (n-->∞)，且a>0 (或a<0)，那麼存在正整數N ,使當n>N時，有an>a/2>0 (或an
• 若{an}，{bn}都是收斂數列，則{an bn}，{an-bn}，{an*bn}也都是收斂數列，如bn≠0，且 lim bn ≠0,那麼{an/bn}也是收斂數列
• lim(an ±bn) = lim an ± bn (n->∞)
• lim(an * bn) = lim an * lim bn (n->∞)
• lim(an / bn) = lim an / lim bn (n->∞)
• ε-N定義：設有{an}，a∈R,如果對任意ε>0，存在正整數N ,使得當n>N 時，都有|an-a|<ε.，則稱{an}收斂于a，a為{an}的極限，記作 lim an = a (n-->∞)
• {an}收斂 充要條件 {an}的任何子列都收斂
• 迫斂性定理：設lim an = lim bn =a，{cn}滿足：存在N0 >0 ，使得當n>N0時，有an≤cn≤bn，則{cn}收斂，且lim cn=a n—>∞
• 單調有界定理：單調有界數列==>有極限
• 柯西收斂準則：{an}收斂 <==> 任意ε>0，存在N∈N ，使當m,n>N時，總有|am-an|<ε
• 任何數列{xn}都存在單調子列
• 緻密性定理：任何有界數列必有收斂子列
• 任意性
• 相對固定性
• 存在性
• 不唯一性
• N的二重性
• ε的二重性
• 收斂判斷法
• 極限
• 收斂數列性質
• ai 稱為項
• an 成為通項
• 數列
• 設S是非空數集，α，β∈R，則：
• α=sup S <==> 任意x∈S，都有x≤α ；存在xn∈S，滿足lim xn=α n->∞
• β=inf S <==> 任意x∈S，都有x≥β ；存在xn∈S，滿足lim xn=β n->∞
• 唯一性
• 存在性
• 特别地：空集 是 有界集
• S是有界數集 充要條件 存在M>0 使得 對任意 x∈S ，都有|x|≤M
• 下确界：最小的一個下界
• 1.對所有x∈S，都有x≥β，即β是S的一個下界
• 2.任意ε>0，存在x0∈S，使得x0<β ε,即β是S的最大下界
• β是S的下确界，記作β=inf S
• 精确定義：S是R的一個非空數集，β∈R，如果β滿足：
• 上确界：最小的一個上界
• 1.對所有x∈S，都有x≤α，即α是S的一個上界
• 2.任意ε>0，存在x0∈S，使得x0>α-ε,即α是S的最小上界
• α是S的上确界，記作α=sup S
• 精确定義：S是R的一個非空數集，α∈R，如果α滿足：
• 有上界數集：S是R的子集，如果存在實數M，使得對所有x∈S，都有x≤M，數M稱為S的一個上界
• 有下界數集：S是R的子集，如果存在實數L，使得對所有x∈S，都有x≥L，數L稱為S的一個下界
• 有界數集：數集S既有上界又有下界
• 無界集：不是有界集，即無上界或無下界
• 确界：非空數集的上确界與下确界的統稱
• 确界原理：非空數集S，有上界必有上确界，有下界必有下确界
• 定理：如果非空數集S存在确界，那麼他一定是唯一的
• 确界與數列關系：數列刻畫确界

有下界數集：S是R的子集，如果存在實數L，使得對所有x∈S，都有x≥L，數L稱為S的一個下界 下确界：最小的一個下界

精确定義：S是R的一個非空數集，β∈R，如果β滿足：

1.對所有x∈S，都有x≥β，即β是S的一個下界

2.任意ε>0，存在x0∈S，使得x0<β ε,即β是S的最大下界

β是S的下确界，記作β=inf S

有界數集：數集S既有上界又有下界 特别地：空集 是 有界集

S是有界數集 充要條件 存在M>0 使得 對任意 x∈S ，都有|x|≤M

無界集：不是有界集，即無上界或無下界

确界：非空數集的上确界與下确界的統稱

确界原理：非空數集S，有上界必有上确界，有下界必有下确界 存在性

定理：如果非空數集S存在确界，那麼他一定是唯一的 唯一性

确界與數列關系：數列刻畫确界 設S是非空數集，α，β∈R，則：

α=sup S <==> 任意x∈S，都有x≤α ；存在xn∈S，滿足lim xn=α n->∞

β=inf S <==> 任意x∈S，都有x≥β ；存在xn∈S，滿足lim xn=β n->∞

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