考綱原文

（1）了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念.

（2）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數.

（3）了解簡單的分段函數，并能簡單應用.

知識點

一、函數的概念

1．函數與映射的相關概念

(1)函數與映射的概念

注意：判斷一個對應關系是否是函數關系，就看這個對應關系是否滿足函數定義中“定義域内的任意一個自變量的值都有唯一确定的函數值”這個核心點．

(2)函數的定義域、值域

在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．

(3)構成函數的三要素

函數的三要素為定義域、值域、對應關系.

(4)函數的表示方法

函數的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.

解析法：一般情況下，必須注明函數的定義域；

列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征；

圖象法：注意定義域對圖象的影響.

2．必記結論

(1)相等函數

如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一緻，則這兩個函數相等．

①兩個函數是否是相等函數，取決于它們的定義域和對應關系是否相同，隻有當兩個函數的定義域和對應關系完全相同時，才表示相等函數．

②函數的自變量習慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函數.

(2)映射的個數

二、函數的三要素

1．函數的定義域

函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值範圍，常見基本初等函數定義域的要求為：

(1)分式函數中分母不等于零.

(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.

(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.

2．函數的解析式

(1)函數的解析式是表示函數的一種方式，對于不是y＝f(x)的形式，可根據題目的條件轉化為該形式.

(2)求函數的解析式時，一定要注意函數定義域的變化，特别是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導緻錯誤.

3．函數的值域

函數的值域就是函數值構成的集合，熟練掌握以下四種常見初等函數的值域：

(1)一次函數y＝kx＋b(k為常數且k≠0)的值域為R.

(4)y＝sinx的值域為[−1,1]．

三、分段函數

1．分段函數的概念

若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分别用幾個不同的式子來表示，則這種函數稱為分段函數．分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．

2．必記結論

分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集．

考試方向

考向一 求函數的定義域

在高考中考查函數的定義域時多以客觀題形式呈現，難度不大.

1．求函數定義域的三種常考類型及求解策略

(1)已知函數的解析式：構建使解析式有意義的不等式(組)求解．

(2)抽象函數：

①若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則複合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．

(3)實際問題：既要使構建的函數解析式有意義，又要考慮實際問題的要求．

2．求函數定義域的注意點

(1)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域變化．

(2)當一個函數由有限個基本初等函數的和、差、積、商的形式構成時，定義域一般是各個基本初等函數定義域的交集．

(3)定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示，不能用“或”連接，而應該用并集符号“∪”連接.

【名師點睛】

1.根據“若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則複合函數f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域”來解相應的不等式或不等式組即可順利解決.

2.求函數的定義域，其實質就是以函數解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然後求出它們的解集即可．

考向二 求函數的值域

求函數值域的基本方法

1．觀察法：

通過對函數解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數的值域，或利用函數圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數的值域．

2．利用常見函數的值域：

一次函數的值域為R;反比例函數的值域為{y|y≠0}；指數函數的值域為（0， ∞）；對數函數的值域為R；正、餘弦函數的值域為 [-1,1] ；正切函數的值域為R .

5．配方法：

對二次函數型的解析式可以先進行配方，在充分注意到自變量取值範圍的情況下，利用求二次函數的值域的方法求函數的值域．

6．數形結合法：

作出函數圖象，找出自變量對應的範圍或分析條件的幾何意義，在圖上找出值域．

7．單調性法：

函數單調性的變化是求最值和值域的依據，根據函數的單調區間判斷其單調性，進而求函數的最值和值域．

8．基本不等式法：

9．判别式法：

10．有界性法：

充分利用三角函數或一些代數表達式的有界性，求出值域.

11．導數法：

利用導數求函數值域時，一種是利用導數判斷函數單調性，進而根據單調性求值域；另一種是利用導數與極值、最值的關系求函數的值域.

考向三 求函數的解析式

求函數解析式常用的方法

1．換元法：

已知複合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值範圍；

2．配湊法：

由已知條件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然後以x替代g(x)，便得f(x)的表達式；

3．待定系數法：

若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)可用待定系數法；

4．方程組法：

考向四 分段函數

分段函數是一類重要的函數，常作為考查函數知識的最佳載體，以其考查函數知識容量大而成為高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現，重點考查求值、解方程、零點、解不等式、函數圖象及性質等問題，難度一般不大，多為容易題或中檔題. 分段函數問題的常見類型及解題策略：

1．求函數值：

弄清自變量所在區間，然後代入對應的解析式，求“層層套”的函數值，要從最内層逐層往外計算．

2．求函數最值：

分别求出每個區間上的最值，然後比較大小．

3．求參數：

“分段處理”，采用代入法列出各區間上的方程或不等式．

4．解不等式：

根據分段函數中自變量取值範圍的界定，代入相應的解析式求解，但要注意取值範圍的大前提．

5．求奇偶性、周期性：

利用奇函數(偶函數)的定義判斷，而周期性則由周期性的定義求解.

【名師點睛】（1）分段函數的單調性，應考慮各段的單調性，且要注意分解點出的函數值的大小；

（2）抽象函數不等式，應根據函數的單調性去掉“ f”，轉化成解不等式，要注意函數定義域的運用.

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