你聽說過

夾逼準則嗎

今天，超模君給大家介紹一個有名的定理——三明治定理（又叫夾逼準則）。

說起這個定理，超模君立馬回想起當年的高數課堂……

“接下來我們來講一講夾逼準則”，話音剛落，沉浸在睡夢中的同桌突然驚起，接下來如同多米諾骨牌那樣，睡着的同學都醒來了。大家議論紛紛。

“什麼？夾逼？我沒聽錯吧！”男生們露出了史上最純潔的笑容，女生們臉紅耳赤，相信耳聽為虛，眼見為實，可是她們看了看課本後，都希望眼見不一定為實。

好了，那麼它是怎麼來的呢？是誰給他起個這麼污的名字？

超模君查了很多資料，關于它的曆史不詳，隻知道它是最初由阿基米德（Archimedes）和歐多克索斯（Eudoxus）用來計算圓周率π，後來經高斯發展成現在的定理形式。除了夾逼準則和三明治定理外，它還有許多叫法：兩邊夾定理、夾擠定理、迫斂法、兩個警察和醉囚犯定理等，其中夾擠定理應該是最接近它的英文名字了（Squeeze Theorem）。

通過圓内外接正多邊形的方法求解π（夾逼準則的思想）

說了這麼久，隻知其名，不知其所雲，我們不能做名詞黨啊！

夾逼準則，說簡單點，就是高中的放縮法（變大變小）加上大學的極限思想。更通俗一點，假如你的哥哥（姐姐）和弟弟（妹妹）都是同一天出生的，那麼證明你也是那天出生，并且你們是三胞胎。

我們先來看一個小栗子，再給出夾逼準則的定義。

首先在圖像上畫出下面的三兄弟：

它們是有大小關系的，其中h是老大，g是老二，f最小，是老三。雖然三娃性格差異較大，但總有共同點，畢竟是同一個媽生（坐标軸）。

為了找出這個共同點，我們取一下在x=2這點處的極限（也就是讓一個點無限靠近2所對應的函數值）。我們先來計算老大h(x)和老三f(x)，由圖像可以觀察到，在x=2處的極限值就等于該點的函數值，我們馬上可以知道：

于是我們得到了這個共同點，就是點F(2，1)。或許有人會問，怎麼不用計算老二的極限值呢？這就引出了我們的主角——夾逼準則：

我們用西遊記來總結一下上面的定理：

八戒有難，呼叫悟空和沙憎。

兄弟同心，斬除妖魔救八戒。

大意是：g(x)的極限求不出來(八戒有難)，可以找到他的老大(孫悟空)和老三(沙憎)，隻要它們兩個的極限算出來了(一起斬除妖魔)，那麼g(x)的極限自然出來了(八戒自然獲救)。

雖然夾逼準則這個名字簡單易記，但是它所解決的難題，都是那種面目猙獰、身材魁梧的變态題目，利用它在繁瑣的表達式中迅速掌握對手的命門，化繁為簡，以奪命剪刀腳緊緊将對手夾在中間，使其無力反抗，隻好跪地投降！

我們來看一個栗子，大家可以動動腦筋思考一下：

二話不說，先寫一個解字。第一眼看上去，無法直接代入，第二眼看上去，無法化簡，第三眼，不看了，想打出題老師。别急，當遇到難題的時候，記得找老大和老三。首先這個和有n項，我們比較它們每一項的大小，可以發現：原來老大和老三就在身邊！

老大在，仿佛看到了勝利的曙光。現在，我們把每一項都看作老大，然後每一項都看作老三，這樣就形成了三兄弟關系鍊（本質上利用了放縮法）

兄弟同心，其利斷金，極限神馬的，放馬過來吧！

對上式的左右兩端取極限，得到都是1，由夾逼準則，立即推，原極限也為1。搞定。

下面兩組圖是使用夾逼準則的經典極限（令x趨于0），模友們看出來了嗎？

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