來源 | 選自《數學——科學和職業》，[俄]柯爾莫戈洛夫著，姚芳、劉岩瑜、吳帆編譯，大連理工大學出版社，2021.3. 好玩的數學獲授權轉載。

初等數學與高等數學

笛卡爾的變量（數學)是 數學中的轉折。由于有了變化，運動和辯證法進入數學之中并且微積分很快建立。

隻有微分計算使自然科學不僅可以用數學刻畫位置，而且可以描述過程：運動。

——恩格斯，《自然辯證法》

恩格斯的這段話所提到的數學中的轉折發生于17世紀，那時，建立了數學科學的基礎。這一轉折的意義是偉大的，直到現代，由于這一轉折而形成的數學分支——被稱為《高等數學》，它區别于早些時候形成的《初等數學》。

高等數學中的一些基礎概念已經進入到現代中學大綱之中，包括基本的實變量之間的函數關系和一些極限理論中的知識。在自然科學和技術中有着重要數學應用的微積分計算也已經是中學大綱範圍的内容了。

在中學數學中，一般很少選擇極限基礎上的微積分初步，因為，一般來說，他們學習的材料需要進行選擇，要符合經過一個比較短的引入性的解釋之後馬上用于解一些獨立習題的需要，微積分初步的學習又需要比較長的系統學習。一方面，微積分方法的本質和意義不是我們所認為的那樣。但是，另一方面，微積分方法的作用和它的本質在于，如果不理解它，就不可能體會到數學對于自然科學和技術科學的所有意義，乃至于不可能全地認識數學科學本身的美麗和迷人之處。

例如，在初等數學中，求出和證明一些比較複雜的圖形的體積和表面積公式很困難，大家都知道，求棱錐的體積就會使學生感到很困難，推導出圓錐的體積公式，球 的體積公式和表面積公式更為複雜。最難的是，其中每一個公式的導出都有獨特的方式，并且也不像幾何教材中那些面積和體積習題的求法。然而，在認識微積分初步時，卻以計算---例如所有旋轉體的體積為統一，簡單和完全自然的積分方式求解。在認識了積分後，任何其他求面積和體積的習題原則上并不難，它們都可以變為用确定方法可以解出的習題，就像在初等數學中，每一個類似上面的那種公式都是一個可以用獨特方法證明的定理。

極大值和極小值類問題的初等解法是複雜的和很具技巧性的一類問題，如果學習了微分，所有這些一大堆不同而又細緻的方法，其大部分完全都是多餘的。而在高等數學中，此類問題卻是很簡單的。因為，在高等數學中，隻需要認識微分初步中導數的概念，掌握一些簡單函數的導數計算以及導數應用于極大值和極小值中的規則即可。

函數y=f(x)的導數從直觀上看很簡單，如果将x看成時間變量，那麼f'就是相關變量y的速度。研究以時間為變量的變化過程時可以這樣解釋導數概念的基本意義。

在力學中就有那樣的實例，就像伽利略引入的降落物體定律，求完全滿足的解隻能用高等數學中的方法。大家都知道，任意物體在t時間内自由落體的路程公式為(g為重力加速度），這個公式在中學物理中給出，有一些複雜和造作。但隻要掌握以下内容，速度是走過的路程對時間的導數,而加速度是速度對時間的導數,再了解最簡單的積分規則，進行一個很簡單計算就可以推出：

物理和力學的大多數更複雜的問題中，被研究現象運動的基本定理，同樣可以借助與被研究變量對時間導數有關的方程簡單地表出，有關未知函數與其導數的方稱為微分方程：

借助微分方程可以比較簡單地指述萬有引力定律作用下天體的運動定律，各種無線技術電路的工作原理，在各種力學結構中張力的分配規等等，那些方程解的研究也是自然和技術給數學提出的基本問題之一。

在高等學校之前在一定程上學習微積分就已經是比較難的，加上多少再推進一些分方程解的理論就更難了。但是，對數學感興趣，被數學所吸引的人可以試着在中學畢業之前了解一些微積分的簡單概念。無論如何，我們很多學者就是這樣走進數學的，而且，對于其中一些人來說，正是因為學習了商等數學，使他們終于以數學作為了他們專業決策的依據。對于這一點，可以舉出上面曾提到過的庫讓特(P Kyparr)和若賓斯(C.Poi6nHc)的書《什麼是數學》 (Iro Taroe MaTexaTnKa.1947年)，或去讀一些高等學校用的相比較而言易懂的教材。

對于決定不會從事這方面工作的人，上面的叙述可以幫助理解到，在進一步學習數學時，他面前的遠景比他以前所想象的更寬廣更有趣。(姚芳譯)

注釋

[1] 本文譯自：柯爾莫戈洛夫. 論數學職業. 15-21頁. (А．Колмогоров О профессии математика. 15-21.

[2]50年代末60年代初的蘇聯時期。——原書編者注。

[3]這篇文章寫于1959年，當時的中學數學中還沒有微積分的内容。——原節編者注。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!