人教版七年級數學上冊主要包含了有理數、整式的加減、一元一次方程、圖形的認識初步四個章節的内容.

一． 知識框架

二．知識概念

1.有理數：

(1)凡能寫成形式的數，都是有理數.正整數、0、負整數統稱整數；正分數、負分數統稱分數；整數和分數統稱有理數.注意：0即不是正數，也不是負數；-a不一定是負數， a也不一定是正數；p不是有理數；

(2)有理數的分類: ①

②

2．數軸：數軸是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線.

3．相反數：

(1)隻有符号不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數；0的相反數還是0；

(2)相反數的和為0 Û a b=0 Û a、b互為相反數.

4.絕對值：

(1)正數的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數；注意：絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離；

(2) 絕對值可表示為：

或

；絕對值的問題經常分類讨論；

5.有理數比大小：（1）正數的絕對值越大，這個數越大；（2）正數永遠比0大，負數永遠比0小；（3）正數大于一切負數；（4）兩個負數比大小，絕對值大的反而小；（5）數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；（6）大數-小數 ＞ 0，小數-大數 ＜ 0.

6.互為倒數：乘積為1的兩個數互為倒數；注意：0沒有倒數；若 a≠0，哪麼的倒數是；若ab=1Û a、b互為倒數；若ab=-1Û a、b互為負倒數.

7. 有理數加法法則：

（1）同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；

（2）異号兩數相加，取絕對值較大的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

（3）一個數與0相加，仍得這個數.

8．有理數加法的運算律：

（1）加法的交換律：a b=b a ；（2）加法的結合律：（a b） c=a （b c）.

9．有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a （-b）.

10 有理數乘法法則：

（1）兩數相乘，同号為正，異号為負，并把絕對值相乘；

（2）任何數同零相乘都得零；

（3）幾個數相乘，有一個因式為零，積為零；各個因式都不為零，積的符号由負因式的個數決定.

11 有理數乘法的運算律：

（1）乘法的交換律：ab=ba；（2）乘法的結合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b c）=ab ac .

12．有理數除法法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數；注意：零不能做除數，.

13．有理數乘方的法則：

（1）正數的任何次幂都是正數；

（2）負數的奇次幂是負數；負數的偶次幂是正數；注意：當n為正奇數時: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 當n為正偶數時: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .

14．乘方的定義：

（1）求相同因式積的運算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底數，相同因式的個數叫做指數，乘方的結果叫做幂；

15．科學記數法：把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位隻有一位的數，這種記數法叫科學記數法.

16.近似數的精确位：一個近似數，四舍五入到那一位，就說這個近似數的精确到哪一位.

17.有效數字：從左邊第一個不為零的數字起，到精确的位數值，所有數字，都叫這個近似數的有效數字.

請判斷下列題的對錯,并解釋.

1.近似數25.0的精确度與近似數25一樣.

2.近似數4千萬與近似數4000萬的精确度一樣.

3.近似數660萬,它精确到萬位.有三個有效數字.

4.用四舍五入法得近似數6.40和6.4是相等的.

5.近似數3.7x10的二次與近似數370的精确度一樣.

參考答案：

1、錯。前者精确到十分位（小數點後面一位），後者精确到個位數。

2、錯。4千萬精确到千萬位，4000萬精确到萬位。

3、對。

4、錯。值雖然相等，但是取值範圍和精确度不同

5、錯。3.7x10^2精确到十位,370精确到個位

相關概念：有效數字：是指從該數字左邊第一個非0的數字到該數字末尾的數字個數（有點繞口）。

舉幾個例子：3一共有1個有效數字，0.0003有一個有效數字，0.1500有4個有效數字，1.9*10^3有兩個有效數字（不要被10^3迷惑，隻需要看1.9的有效數字就可以了，10^n看作是一個單位）。

精确度：即數字末尾數字的單位。比如說：9800.8精确到十分位（又叫做小數點後面一位），80萬精确到萬位。9*10^5精确到10萬位（總共就9一個數字，10^n看作是一個單位，就和多少萬是一個概念）。

18.混合運算法則：先乘方，後乘除，最後加減.

第二章 整式的加減

　　　一．知識框架　　

　二.知識概念

1．單項式：在代數式中，若隻含有乘法（包括乘方）運算。或雖含有除法運算，但除式中不含字母的一類代數式叫單項式.

2．單項式的系數與次數：單項式中不為零的數字因數，叫單項式的數字系數，簡稱單項式的系數；系數不為零時，單項式中所有字母指數的和，叫單項式的次數.

3．多項式：幾個單項式的和叫多項式.

4．多項式的項數與次數：多項式中所含單項式的個數就是多項式的項數，每個單項式叫多項式的項；多項式裡，次數最高項的次數叫多項式的次數。

通過本章學習，應使學生達到以下學習目标：

1. 理解并掌握單項式、多項式、整式等概念，弄清它們之間的區别與聯系。

2. 理解同類項概念，掌握合并同類項的方法，掌握去括号時符号的變化規律，能正确地進行同類項的合并和去括号。在準确判斷、正确合并同類項的基礎上，進行整式的加減運算。

3. 理解整式中的字母表示數，整式的加減運算建立在數的運算基礎上；理解合并同類項、去括号的依據是分配律；理解數的運算律和運算性質在整式的加減運算中仍然成立。

4．能夠分析實際問題中的數量關系，并用含有字母的式子表示出來。

一． 知識框架

二．知識概念

1．一元一次方程：隻含有一個未知數，并且未知數的次數是1，并且含未知數項的系數不是零的整式方程是一元一次方程.

2．一元一次方程的标準形式： ax b=0（x是未知數，a、b是已知數，且a≠0）.

3．一元一次方程解法的一般步驟： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移項 …… 合并同類項 …… 系數化為1 …… （檢驗方程的解）.

4．列一元一次方程解應用題：

（1）讀題分析法:………… 多用于“和，差，倍，分問題”

仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套-----”，利用這些關鍵字列出文字等式，并且據題意設出未知數，最後利用題目中的量與量的關系填入代數式，得到方程.

（2）畫圖分析法: ………… 多用于“行程問題”

利用圖形分析數學問題是數形結合思想在數學中的體現，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據，最後利用量與量之間的關系（可把未知數看做已知量），填入有關的代數式是獲得方程的基礎.

11．列方程解應用題的常用公式：

（1）行程問題： 距離=速度·時間

（2）工程問題： 工作量=工效·工時

（3）比率問題： 部分=全體·比率

4）順逆流問題： 順流速度=靜水速度 水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；

（5）商品價格問題： 售價=定價·折·1/10，利潤=售價-成本，利潤率=（售價-成本）/成本*100%

（6）周長、面積、體積問題：C圓=2πR，S圓=πR2，C長方形=2(a b)，S長方形=ab， C正方形=4a，

S正方形=a2，S環形=π(R2-r2),V長方體=abc ，V正方體=a3，V圓柱=πR2h ，V圓錐=1/3πR²h。

知識框架

本章的主要内容是圖形的初步認識，從生活周圍熟悉的物體入手，對物體的形狀的認識從感性逐步上升到抽象的幾何圖形.通過從不同方向看立體圖形和展開立體圖形，初步認識立體圖形與平面圖形的聯系.在此基礎上，認識一些簡單的平面圖形——直線、射線、線段和角. 本章書涉及的數學思想：

1.分類讨論思想。在過平面上若幹個點畫直線時，應注意對這些點分情況讨論；在畫圖形時，應注意圖形的各種可能性。

2.方程思想。在處理有關角的大小，線段大小的計算時，常需要通過列方程來解決。

3.圖形變換思想。在研究角的概念時，要充分體會對射線旋轉的認識。在處理圖形時應注意轉化思想的應用，如立體圖形與平面圖形的互相轉化。

4.化歸思想。在進行直線、線段、角以及相關圖形的計數時，總要劃歸到公式n(n-1)/2的具體運用上來。

人教版七年級數學下冊主要包括相交線與平行線、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程組、不等式與不等式組和數據的收集、整理與表述六章内容。

一、知識框架

1.鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。

2.對頂角：一個角的兩邊分别是另一個角的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。

3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。

4.平行線：在同一平面内，不相交的兩條直線叫做平行線。

5.同位角、内錯角、同旁内角：

兩條直線被第三條直線所截所形成的八個角中，有四對同位角，兩對内錯角，兩對同旁内角。

同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關系的一對角叫做同位角。

内錯角：∠4與∠6像這樣的一對角叫做内錯角。

同旁内角：∠4與∠5像這樣的一對角叫做同旁内角。

6.命題：判斷一件事情的語句叫命題。

7.平移：在平面内，将一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移平移變換，簡稱平移。

8.對應點：平移後得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動後得到的，這樣的兩個點叫做對應點。

9.定理與性質

對頂角的性質：對頂角相等。

10垂線的性質：

性質1：過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直。

性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

11.平行公理：經過直線外一點有且隻有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。

12.平行線的性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。

性質2：兩直線平行，内錯角相等。

性質3：兩直線平行，同旁内角互補。

13.平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。

判定2：内錯角相等，兩直線平行。

判定3：同旁内角互補，兩直線平行。

一．知識框架

二．知識概念

1.有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對，記做（a,b）

2.平面直角坐标系：在平面内，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐标系。

3.橫軸、縱軸、原點：水平的數軸稱為x軸或橫軸；豎直的數軸稱為y軸或縱軸；兩坐标軸的交點為平面直角坐标系的原點。

4.坐标：對于平面内任一點P，過P分别向x軸，y軸作垂線，垂足分别在x軸，y軸上，對應的數a,b分别叫點P的橫坐标和縱坐标。

5.象限：兩條坐标軸把平面分成四個部分，右上部分叫第一象限，按逆時針方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标軸上的點不在任何一個象限内。

平面直角坐标系是數軸由一維到二維的過渡，同時它又是學習函數的基礎，起到承上啟下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的點與數結合起來，體現了數形結合的思想。掌握本節内容對以後學習和生活有着積極的意義。教師在講授本章内容時應多從實際情形出發，通過對平面上的點的位置确定發展學生創新能力和應用意識。

一．知識框架

二．知識概念

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。

5.角平分線：三角形的一個内角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。

6.多邊形：在平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

7.多邊形的内角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的内角。

多邊形内角和定理:n邊形的内角的和等于： （n － 2）×180°，則正多邊形各内角度數為： （n － 2）×180°÷n

多邊形内角和定理證明

　　證法一：在n邊形内任取一點O，連結O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形.

　　因為這n個三角形的内角的和等于n·180°，以O為公共頂點的n個角的和是360°

　　所以n邊形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.

　　即n邊形的内角和等于（n-2）×180°.

　　證法二：連結多邊形的任一頂點A1與其他各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形.

　　因為這（n-2）個三角形的内角和都等于（n-2）·180°

　　所以n邊形的内角和是（n-2）×180°.

　　證法三：在n邊形的任意一邊上任取一點P，連結P點與其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，

　　這（n-1）個三角形的内角和等于（n-1）·180°

　　以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°

　　所以n邊形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

已知正多邊形内角度數則其邊數為：360÷（180－内角度數）

8.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

外角和=N*180-（N-2）*180=360度。 　　

注：在不考慮角度方向的情況下，以上所述的N邊形，僅為任意‘凸’多邊形。當考慮角度方向的時候，上面的論述也适合凹多邊形。

9.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

10.正多邊形：在平面内，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

11.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

鑲嵌的一個關鍵點是：在每個公共頂點處，各角的和是360°．

　1．全等的任意三角形能鑲嵌平面

　　把一些紙整齊地疊放好，用剪刀一次即可剪出多個全等的三角形．用這些全等的三角形可鑲嵌平面．這是因為三角形的内角和是180°，用6個全等的三角形即可鑲嵌出一個平面．如圖1．用全等的三角形鑲嵌平面，鑲嵌的方法不止一種，如圖2．

2．全等的任意四邊形能鑲嵌平面。

　　仿上面的方法可剪出多個全等的四邊形，用它們可鑲嵌平面．這是因為四邊形的内角和是360°，用4個全等的四邊形即可鑲嵌出一個平面．如圖3．其實四邊形的平面鑲嵌可看成是用兩類全等的三角形進行鑲嵌．如圖4．

3．全等的特殊五邊形可鑲嵌平面

　　聖地亞哥一位家庭婦女，五個孩子的母親瑪喬裡·賴斯，對平面鑲嵌有很深的研究，尤其對五邊形的鑲嵌提出了很多前所未有的結論．1968年克什納斷言隻有8類五邊形能鑲嵌平面，可是瑪喬裡·賴斯後來又找到了5類五邊形能鑲嵌平面，在圖5的五邊形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠C＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．圖6是她于1977年12月找到的一種用此五邊形鑲嵌的方法．用五邊形鑲嵌平面，是否隻有13類，還有待研究．

4．全等的特殊六邊形可鑲嵌平面

　　1918年，萊因哈特證明了隻有3類六邊形能鑲嵌平面．圖7是其中之一．在圖7的六邊形ABCDEF中，∠A＋∠B＋∠C=360°，a=d．

　　5．七邊形或多于七邊的凸多邊形，不能鑲嵌平面．

　　隻有正三角形、正方形和正六邊形可鑲嵌平面，用其它正多邊形不能鑲嵌平面．

　　例如：用正三角形和正六形的組合進行鑲嵌．設在一個頂點周圍有m個正三角形的角，有n個正六邊形的角．由于正三角形的每個角是60°，正六邊形的每個角是120°．所以有

　　m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．

　　這個方程的正整數解

可見用正三角形和正六邊形鑲嵌，有兩種類型，一種是在一個頂點的周圍有4個正三角形和1個正六邊形，另一種是在一個頂點的周圍有2個正三角形和2個正六邊形．

埃舍爾_百度百科

12.公式與性質

三角形的内角和：三角形的内角和為180°

三角形外角的性質：

性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和。

性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角。

多邊形内角和公式：n邊形的内角和等于（n-2）·180°

多邊形的外角和：多邊形的内角和為360°。

多邊形對角線的條數：（1）從n邊形的一個頂點出發可以引（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形。

（2）n邊形共有n（n-3）/2條對角線。

一．知識結構圖

二、知識概念

1.二元一次方程：含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1，像這樣的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax by=c(a≠0,b≠0)。

2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數的值叫做二元一次方程組的解。

4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。

5.消元：将未知數的個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

6.代入消元：将一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

7.加減消元法：當兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，将兩個方程的兩邊分别相加或相減，就能消去這個未知數，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

本章通過實例引入二元一次方程,二元一次方程組以及二元一次方程組的概念,培養學生對概念的理解和完整性和深刻性,使學生掌握好二元一次方程組的兩種解法. 重點:二元一次方程組的解法,列二元一次方程組解決實際問題. 難點:二元一次方程組解決實際問題

一．知識框架

二、知識概念

1.用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小關系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

4.一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，隻有一個未知數，并且未知數的最高次數是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。

5.一元一次不等式組：一般地，關于同一未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成6.了一個一元一次不等式組。

7.定理與性質

不等式的性質：

不等式的基本性質1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等号的方向不變。

不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等号的方向不變。

不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等号的方向改變。

本章内容要求學生經曆建立一元一次不等式（組）這樣的數學模型并應用它解決實際問題的過程，體會不等式（組）的特點和作用，掌握運用它們解決問題的一般方法，提高分析問題、解決問題的能力，增強創新精神和應用數學的意識。

一．知識框架

二．知識概念

1.全面調查：考察全體對象的調查方式叫做全面調查。

2.抽樣調查：調查部分數據，根據部分來估計總體的調查方式稱為抽樣調查。

3.總體：要考察的全體對象稱為總體。

4.個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。

5.樣本：被抽取的所有個體組成一個樣本。

6.樣本容量：樣本中個體的數目稱為樣本容量。

7.頻數：一般地，我們稱落在不同小組中的數據個數為該組的頻數。

8.頻率：頻數與數據總數的比為頻率。

9.組數和組距：在統計數據時，把數據按照一定的範圍分成若幹個組，分成組的個數稱為組數，每一組兩個端點的差叫做組距。

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