一、直線

1、直線的傾斜角

在平面直角坐标系中，當直線與x軸重合或平行時，規定傾斜角為0，對于與x軸相交的直線，把x軸繞着交點按逆時針方向轉到和直線重合時所轉的最小正角叫做直線的傾斜角，傾斜角的範圍[0,π)。

2、直線的斜率

• 傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k＝tanα (α≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率。
• 斜率公式：k=Δy/Δx=(y1-y2)/(x1-x2)。
• 直線的方向向量：(1,k)

3、直線的方程

點斜式：

已知直線過點(x0,y0)，斜率為k，則直線方程為：y−y0=k(x-x0)。

斜截式：

已知直線在y軸上的截距為b和斜率k，則直線方程為：y=kx b。

兩點式：

已知直線經過(x1,y1)，(x2,y2)兩點，則直線方程為：

截距式：

已知直線在x軸和y軸上的截距為a,b,則直線方程為：x/a y/b=1

一般式：

任何直線均可寫成：Ax By C=0(A,B不同時為0)的形式。

4、點到直線的距離及兩平行直線的距離

點P(x0,y0)到直線Ax By C=0的距離：

兩平行線Ax By C1=0和Ax By C2=0間的距離為：

5、直線與直線的位置關系

直線ax by c=0與直線Ax By C=0的位置關系：

• 平行：aB−Ab=0且bC−Bc≠0。
• 相交：aB−Ab≠0。
• 重合：aB−Ab=0且bC−Bc=0。
• 垂直：aA bB=0。

6、夾角公式

(k1k2≠−1)。

例：已知點M是直線2x−y−4=0與x軸的交點，把直線繞點M逆時針方向旋轉45°，得到的直線方程是3x y−6=0。

7、對稱問題

點關于點對稱：利用中點坐标求解。

如求點A(2,2)關于點B(3,1)對稱的點C，由A與C的橫坐标之和等于B點橫坐标的二倍，A與C的縱坐标之和等于B點縱坐标的二倍，得C(4,0)。

點關于直線對稱：利用垂直平分線求解。

如求點M(2,2)關于直線l：y=2x 1對稱的點N，即直線l為線段MN的垂直平分線。由M、N的中點在直線l上，且直線MN與l垂直，斜率之積為-1(斜率不存在時，利用平移求解)，聯立求解出點N坐标。

直線關于點對稱：設直線系方程，再通過點到兩直線的距離相等，或直線上點關于點對稱來求解。

如求2x 3y 4=0關于點(3,3)對稱的直線l，可設l為：2x 3y c=0，由點(3,3)到兩條直線的距離相等，代入距離公式得c=-34并得到直線方程2x 3y-34=0；也可任取直線上一點，如(1,-2)，得到該點關于(3,3)對稱點(5,8)并代入l方程解得c=-34及直線方程2x 3y-34=0。

直線關于直線對稱：采用到角公式求解(關于平行直線對稱可利用平移求解)。

(k1-k2)/(1 k1·k2)=(k2-k3)/(1 k2·k3)

已知k1、k2求解出k3，再結合交點求出直線方程。

另可采用直線的方向向量結合旋轉求解出斜率。

二、圓

1、圓的方程

标準方程：

一般方程：

參數方程：

其中θ為參數，圓心為(a,b)，半徑為r。

2、點與圓的位置關系

3、直線與圓的位置關系

⑴将直線方程與圓的方程聯立，根據方程解的個數，判斷直線與圓的位置關系。

相交：若△>0 ，方程有兩個根，即直線與圓有兩個交點。

相切：若△=0 ，方程有一個根，即直線與圓有一個交點。

相離：若△<0 ，方程有零個根，即直線與圓有零個交點。

⑵将圓心到直線的距離d與圓的半徑r比較：

相交：d<r。

相切：d=r。

相離：d>r。

4、圓與圓的位置關系

兩圓的位置關系，可通過比較半徑與圓心距的大小來判斷。

外離：兩圓半徑和小于圓心距。

外切：兩圓半徑和等于圓心距。

相交：兩圓半徑和大于圓心距，半徑差小于圓心距。

内切：兩圓半徑差等于圓心距。

内含：兩圓半徑差大于圓心距。

5、圓的切線與弦長

⑴圓上點的切線方程

當圓心為(a，b)時，所有的坐标進行平移轉換，長度不變。可得到：

當圓為一般方程時，可得到：

⑵圓外點的切線方程

過圓外一點作圓的切線有兩條，設出斜率存在時的方程，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑求解出切線方程。隻有一個解時需考慮斜率不存在的切線。

(3)圓外點的切線長

點與圓心的連線(斜邊)、切線(直角邊)和半徑(直角邊)構成的直角三角形采用勾股定理求解切線長。

(4)圓的弦長

幾何法：圓心到弦的垂線(直角邊d)、弦(l)的一半(直角邊)和半徑(斜邊r)構成的直角三角形采用勾股定理求解弦長。

解析法：通過聯立圓與直線的方程，根據韋達定理得出兩根的關系，可由兩點間的距離得到弦長。

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