這是粉絲提問的一道中考數學真題。老黃做出指導後，擔心他聽不懂，就自己動用解了解，順便分享給大家。這是一道關于三角尺擺放的問題，與旋轉和平移有關。

将一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB，與AC相交于點G，BC=2√3cm.

(1)求GC的長；

(2)如圖2, 将△DEF繞點D順時針旋轉，使直角邊DF經過點C，另一直角邊DE與AC相交于點H，分别過H, C作AB的垂線，垂足分别為M, N，通過觀察，猜想MD與ND的數量關系，并驗證你的猜想.

(3)在(2)的條件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D’E’F’，當D’E’恰好經過(1)中的點G時，請直接寫出DD’的長度。

分析：(1)純含30度角的直角三角形的三邊關系的應用，或者可以結合60度和30度的三角函數。先求AC，AB，再由AD求AG，然後用AC減去AG就是答案了。

(2)一開始老黃想利用一個很少人知道的定理來解，即“一線三直角中，若三個直角三角形都相似，則中間的直角頂點平分這條線段。”後來老黃覺得，直接運用這個定理，可能會被誤判，如果利用這個定理組織過程，可能會比較麻煩。所以老黃改用“等腰三角形底邊三線合一”的定理來解。

注意圖2中，三角形BCD易證為正三角形，而三角形ADH則易證為等腰三角形。所以M是AD的中點，N是BD的中點，又AD=BD，所以MD=ND。

(3)直接可以發現，DD'=BD. 可以證明D'E'平行于BG，則D'E'經過點G時，D'和B重合。

以上分析過程，即為思考過程，這個思考過程越快越好。老黃已經老态龍鐘，還想了不少時間，聰明的年輕人們，可要争取在最短時間内完成才行哦。下面組織解題過程：

解：(1)AC=BC·tan60⁰=6cm;

AB=2BC; AD=AB/2=BC=2√3cm.

AG=AD/cos30⁰=4cm.

GC=AC-AG=2cm.

(2)猜想：MD=ND.

由(1)知BD=AB/2=BC, ∴△BCD是正三角形.

CN⊥BD, ∴ND=BD/2,

∠ADH=180⁰-∠EDF-∠BDC=30⁰=∠DAH,

∴△AHD是等腰三角形.

HM⊥AD, ∴MD=AD/2,

又AD=BD，∴MD=ND.

(3)DD’=2√3cm. 理由如下：

由(2)知∠ADE=30⁰=∠AD’E’,

DG垂直平分AB，∴∠BGD=∠AGD=60⁰,

∴∠GBD=90⁰-∠BGD=30⁰=∠AD’E’,

∴D’E’//BG,

∴當D’E’經過點G時, D’B重合，

∴DD’=DB=BC=2√3cm.

解題過程的組織，也是一門藝術，一定要保證整可能的簡潔，不然一是花時間太多，二是卷子寫得太亂，都是不可取的。

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