貝朗特

1. 貝特朗悖論的産生背景

人們對概率的研究有着悠久的曆史。公元1494年意大利的帕奇歐裡（paciuolo）提出了了關于“分賭金”的問題，這個問題直到16世紀才有巴斯卡（1623～1662）、費爾馬（1601～1665，費馬大定理的提出者）、惠更斯（荷蘭數學家1629～1695）聯合解決。

轉眼到了1812年,法國數學家拉普拉斯撰寫了《分析概率論》這一著作,概率的古典定義在書中被首次完整而系統地提出.作為對古典定義的補充和推廣,在無限樣本空間背景下的幾何概率也得到了廣泛的應用。

正當古典概率和幾何概率在各自的研究領域内迅猛發展時,1899年,法國數學家貝特朗（nseph Bertrand,l822-1900）提出一個“簡單”的問題:

在圓内任作一弦,求其長超過圓内接正三角形邊長的概率是多少？

按照幾何概率的定義進行計算,竟然可以求得3個不同的概率,這與概率的性質是背道而馳的.這就是著名的“貝特朗悖論”矛頭直指幾何概率概念本身.貝特朗悖論說明原來關于概率的定義帶有很大的局限性,迫切需要一種公理化體系改造概率論.1933年,前蘇聯數學家科爾莫戈洛夫提出了概率的公理化體系,迅速獲得舉世的認可,使得古典概率和幾何概率具有了更加嚴密的邏輯基礎,像“貝特朗悖論”這類自相矛盾的問題也得到了合理的解釋。

華羅庚說：“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要”。

2. 相關的概念

古典概型

2.1古典概型

① 定義

如果一個随機試驗所有可能出現的結果隻有有限個,即基本事件總數是有限的,并且每個基本事件發生的可能性相同,那麼稱這樣的随機試驗為古典概型試驗,簡稱古典概型.

古典概型的特點: (i)有限性一試驗中所有可能出現的基本事件隻有有限個;

(ii)等可能性——每個基本事件出現的可能性相等.

② 概率計算公式

P(A)=m/n=(事件A包含的基本事件數)/(基本事件總數)

2.2幾何概型

①定義

對于一個随機試驗,将基本事件理解為從某個可度量的幾何區域G内随機地取一點,該區城中每一個點被取到的機會都一樣;而随機事件A的發生則理解為恰好取到區域G内的某個指定區域g中的點,則稱這個随機試驗為幾何概型随機試驗,簡稱幾何概型

③ 率計算公式

P(A)=(g的度量)/(G的度量)

g的度量為構成事件A的區域的長度、面積或體積,G的度量為試驗的全部結果所構成的區域的長度、面積或體積.

一切推理都必須從觀察與實驗中得來。——伽利略

3. 貝特朗的三種解法

假設事件E表示“在半徑為R園内任作一弦，其長超過圓内接正三角形邊長”。

解法一，

如圖1，由于對稱性，可将弦的一端固定在等邊三角形的某一頂點上，然後另一端繞着圓周旋轉。若在固定端點作一條切線，則與此切線交角在π/3與2π/3之間的弦才能超過内接正三角形的邊長。即是圖中夾在∠BAC中的弦是符合要求的，又∠MAB=∠BAC=∠CAN,故而所求的概率是1/3。

這種解法的本質是，先任意固定弦的一個端點，然後以弦的另一個端點的位置作為試驗的基本結果，并假定另一端點在圓周上等可能的分布，這是，G=2πR, g=（2πR）/3,于是，

P(E)=g/G=1/3.

此法還可以這樣解釋，由于對稱性，可預先固定弦的一端。僅當弦與過此端點的切線的交角在60°～ 120° 之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為1/3 。

解法二，

如圖2，

由于對稱性，可任意指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑A1A4，把圓六等分，分點是A1，A2，A3，A4，A5，A6，B為A2A6與A1A4的交點，C為A3A5與A1A4的交點，由于弧A1A2的是60度的弧，所以∠A1A6A2=30度，A1B=A1A6/2=半徑/2;于是A1B A4C=BC=半徑。隻有交直徑于1/4 點與 3/4 點間的弦，其長才大于内接正三角形邊長。所有交點是等可能的,則所求概率為1/2 。

這種解法的本質是，先任意指定弦的方向，然後以該方向上的所有弦的中點的位置作為試驗的基本結果，這些中點剛好落在垂直于該方向的直徑上，假設弦的中點在直徑上的分布是等可能的。

解法三，

如圖3，

圓内弦的位置被其中點唯一确定。在圓内作一個同心圓，其半徑僅為大圓半徑的一半，則當弦的中點落在小圓内，弦長才能超過内接正三角形的邊長。

這種解法的本質是，以任意弦的中點的位置作為試驗的結果，并假設弦中點在圓内等可能分布。這時，G=πR ˄2，g=π(R/2)˄ 2.于是P(E)=1/4.

直觀饋贈過我們，當然也會誤導我們。

4.各種觀點的總結分析

從各解法的取點的特征可以看出，之所以有3個不同的答案，是因為人們觀察随機事件的基本結果的角度不同，同時對基本結果的等可能性假設也有不同的理解。

貝特朗悖論的關鍵在于題幹中的一個：在圓内任作一條弦。對任意的不同理解造成了這個看似簡單的問題成了“悖論”。

從貝朗特悖論誕生的那一刻起，對于讨論與分析就沒有間斷過，厚此薄彼者比比皆是，有些人還提出了看似無可辯駁的理由。下面分别從各種方法的有利論點與不利原因進行分析。

4.1認為解法一唯一正确

解法一認為“弦是由兩個端點決定，任意作弦就應該先随機确定兩端點在圓上的位置，這是需要假設兩端點在圓上等可能分布”，而解法二、三是無法推出兩端點在圓上等可能分布的，故而有人認為解法二、三是錯誤的。

但是也有人提出，解法一先固定一個頂點的位置，會不會影響等可能性，這種擔心雖然是多餘的，有人根據提出的意見提出了解法一的另一個版本。

解法四：見圖4，把單位圓的圓心固定在直角坐标系的原點，表示弦的兩個端點，隻有當與的夾角大于時，弦的長度才能超過内接正三角形的邊長。

這種解法的本質是在解法一的基礎上，不再預先固定弦的一端，而讓弦的兩個端點随機獨立選取。這時的試驗結果是弦的兩個端點的位置，并假設兩個端點各自在圓周上等可能的分布。用二維點（α，β）表示試驗結果，其中α表示OC岸逆時針方向旋轉至OA所經過的角度，β表示OC按逆時針方向旋轉至OB所經過的角度，C是圓周與x正半軸的交點。

0≤α≤2π；0≤β≤2π.易得，隻有當2π/3<|α—β|<4π/3時，

弦的長度才能超過内接正三角形的邊長。如圖5所示,當二維點（α，β）在圖中的黑色部分時滿足條件，故而P(E)=1/3.

還有些堅持解法一的人認為正是因為其巧妙的避開了“圓心”，故隻有解法一才是真确的。在解法二，假設所以弦的中點在圓中是等可能分布。對于圓中的弦，除了直徑外，均為唯一的弦中點與弦對應。而圓心，卻是所以直徑共同的中點，即這個中點特别“厚”，因此認為弦的中點在某直徑或在園内是等可能分布是不成立的。

4.2認為解法二唯一正确

其主要觀點基于一個假設:弦是由點組成的,長的弦需要更多的點,故任一弦出現的概率與其長度有關,由此計算得到解法2才是正确的.而解法1和解法3的情況,若按該假設重新計算,也能得到解法2的答案

4.3認為解法3唯一正确

因為其他兩種解法把弦重複計算了，故隻有解法3是正确的。甚至可以把其餘兩種解法通過剔除重複計算的弦而修改為解法3的答案。

有人認為在貝特朗悖論的3種解法中,有的解法對作弦有限制.比如解法1要求先固定弦的一端,解法2要求先規定弦的方向.而原題要求在圓内任意作弦,故作弦時附加的這些條件是不合理的.而解法3沒有這些特殊要求,因此解法3才是符合題意的作弦方法。不知持這種觀點的朋友對解法四作出怎樣的分析與辯駁。

5．剖析各種解法的實質

由此看來,貝特朗悖論的3種解答，各有所持，也各有所短，究竟哪個更合理呢？下面,從幾何概型的基本要素(樣本空間的構造和作弦的等可能性)對以上争議進行深入的分析。

5.1各種解法中樣本空間的構造的合理性分析

樣本空間中的元素是試驗的基本結果.貝特朗悖論的題意是要求在圓内任意作弦,直觀看來,試驗的結果應該是做出的弦,但是幾何概率問題中試驗的基本結果應該用“點”來描述,這個點根據實際情況可以是一維數軸上的點,也可以是二維平面上的點,或者是三維空間上的點。故求解貝特朗問題的首要任務是要把做出的弦轉化成相應的“點”,即樣本空間的元素.而弦和點之間應存在對應關系,上述的4種解法均從各自的角度把試驗的結果轉化成樣本空間中的“點”。

另外,當對作弦附加了條件,比如指定弦的端點(解法1)和指定弦的方向(解法2),會否縮小樣本空間?

園内任一條弦，總是由弦在圓上的兩個端點決定，而且也必然垂直于某一條直徑。

解法1中,在圓周上任取一點,作為弦的一端,然後讨論弦的另一端點的位置.根據圓的對稱性,以及取點的任意性,固定一端點後所作的弦的性質與固定其他點所作的相應弦的性質相同，當然包括概率這個性質。故雖然表面上看起來解法1的樣本空間比解法3的樣本空間要小，但所求的概率是合理的。

解法2中,預先任意确定弦的方向,考慮在這個方向上的弦的性質,由于這個方向也是任意的,在這個方向的弦的性質與其他方向上的弦的性質相同。因此雖然樣本空間比解法3的樣本空間小,但所求的概率也是合理的。

5.2各種解法中作弦的等可能性分析

究競哪種方法真正等可能地作弦?這是最困擾人們的間題。實際上,古典問題和幾何問題的一個最大區别,在于可數（結果的有限性）和無限不可數（點的不可數性）的問題。其中幾何問題上涉及的無限不可等數問題是很抽象的間題。若根據古典的思想,用弦的數量多少或者點的數量多少來解決間題,是不正确的。

在古典概型中,由于試驗基本結果是有限的,當樣本空間确定後,試驗基本結果的等可能性是可以驗證的.但是,幾何概型卻并非如此。

在幾何問題中,當樣本空間确定後,試驗結果的等可能性質卻需要明确假定。而且由于試驗結果的無限性,這種假定無法驗證,這是人們最容易忽視和無法理解的問題.

貝特朗悖論問題恰恰是缺少了相應的等可能性假定,題幹隻要求在圓内任意作弦,至于弦在圓内是按何種方式等可能分布,是沒有提及的,才導緻如此多的“解法”。

因此,這并不算一種悖論,隻是一道條件不充分的數學題,不同的人為了“解”它而添加不同的條件,将其改造成各種不同的可解的問題而已.解法1和解法4強調弦由端點決定,假設端點在圓上等可能分布:解法2強調弦由其中點決定,并假設弦中點在與弦垂直的直徑上等可能分布:解法3強調弦由其中點決定,假設中點在圓内等可能分布.

這是各種不同的等可能假定,是不能夠互相轉化的,比如,當認為弦由端點決定,假設端點在圓上的等可能分布時,必然使得另外幾種情況的等可能性假設失效.當作不同的假定後,計算的結果也就不同了。

所以,這幾種方法實際上都做到了真正的等可能取弦。

5.3關于圓心的說明

圓心,這個特殊點,在貝特朗悖論争論中擔任了重要角色.在解法3中,假設弦的中點在圓内等可能分布.但是圓心這個特殊的弦中點确實比其他弦的中點“厚”,因為它是所有直徑的共同中點，而圓内的其他點都隻是某一條弦的中點。這時假設弦的中點在圓内等可能分布的這種等可能性假設是否合理?答案是肯定的。

古典概型和幾何概型均有對試驗基本結果的等可能性要求。古典概型的等可能性要求試驗的每一個基本結果出現的可能性大小相同。但是幾何概型的試驗結果是無限不可數的,其等可能性條件的實質并不是要求每一個試驗的基本結果出現的可能性大小相同。

幾何概率的計算公式已表明,幾何問題的概率是由試驗結果所構成的測度所決定,單個試驗結果的測度為0,甚至有限個試驗結果的測度之和也為0,因此,幾何問題中的每一基本試驗結果出現的概率必相同——概率為0.這和概率為零的事件并非一定是不可能事件是相同道理的。

由此可見,考慮每一個基本試驗結果的可能性大小并沒有意義.幾何概型中的等可能性強調的是試驗結果落在度量相同的子區域内是等可能的,不管該區域的形狀如何。

因此,圓心的特殊性質并不影響概率的計算,也不影響等可能性假設.一種極端的想法是甚至可以把圓心挖掉,少了這個圓心不會影響任何事件概率計算的正确性。

5.4關于作弦的概率與弦長有關的假設

有人認為,由于圓内的所有點是等可能分布的,而不同長度的弦由于含有不同數量的點,因此作不同長度的弦是不等可能的,作長的弦比作短的弦概率大這種說法并不合理。

弦雖然是有限長度的線段,但是不同長度的弦所包含的點均是無窮多個,這屬于實無限思想的範疇,在實無限領域,可以證明不同長度的兩條線段中的點存在一對應的關系.德國數學家康托爾甚至成功證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應,也能和空間中的點一一對應,從這種意義上說,不同長度的弦包含的點其實是一樣多的,故認為作弦的概率與弦長有關的假設是不合理的.詳細了解可看拙文：一位高中數學教師眼中的“數學計算”（五）子集與集合相等

6.結論

6.1貝特朗悖論并不奇

貝特朗悖論确實不奇,這并不是指它應該有唯一的答案,而是指它其實是一道開放性的,條件并不充分的題目,當把題目補充完整後,答案就唯一,這個不充分的條件正是關于弦的等可能性分布的假定。隻是有的人對任意作弦的方式有個人偏好,因此傾向于某種等可能性假設,而偏向于某種解法。而實際上,這種假定甚至還不限于本文所提及的4種,所以貝特朗論的答案非但不唯一,甚至是有無數個解,下圖告訴我們，它的概率是[1/3,1/2]中的任意一個數。

當然,當等可能性條件補充完整後,貝特朗問題的解就唯一了.

在2009年福建省數學高考文科試題中出現這樣一個題目：點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上随機取一點B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 。

當時很多人覺得它是個錯題，因為答案不唯一，這就是不明白本題的等可能條件已經完備了，答案隻能是2/3.其他的答案全是錯誤的。

6.2幾何概率問題中的等可能性假設是一種數學假設并無法驗證

雖然幾何概型和古典概型在确定概率時都要求試驗結果滿足某種等可能性條件,但是古典概型中的等可能性條件是可以驗證的,而幾何問題中的等可能性假設必須明确給出,并且無法通過直覺獲取也不能通過實踐驗證。

幾何問題涉及的是無限不可數問題,試驗結果通常是用點線、面、體等幾何元素表示.“點”動成“線”,“線”動成“面”,“面”動成“體”,也就是說幾何世界是由“點”構造出來的,但“點”是沒有大小的東西,它在現實世界中是不存在的.數學源于現實,脫胎于現實,但它已經完全超越現實,在數學世界與現實世界之間存在着不可逾越的鴻溝,從直觀的、直覺的、現實世界的角度去看數學世界的内容是引起貝特朗悖論争論的本質原因。

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