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導數基本運算公式

圖文更新时间:2024-08-18 04:52:48

我們知道偏導數反應的是函數沿坐标軸方向的變化率。但有的時候我們需要知道函數沿任一指定方向的變化率，這就引出了方向導數的概念。

函數ψ（x，y，z）在點P（x，y，z）沿以P為起始點的某射線l的變化率，稱為函數ψ（x，y，z）在點P沿方向l的方向導數，記作

導數基本運算公式（方向導數與梯度）1

式中cosα，cosβ，cos γ為l的方向餘弦，即（cosα，cosβ，cos γ）是與l同方向的單位向量。方向導數的值我們可以寫成兩個矢量點積的形式，如下

導數基本運算公式（方向導數與梯度）2

我們把矢量

導數基本運算公式（方向導數與梯度）3

叫做标量場ψ的梯度，記作gradψ。如果引入一個矢量性算子

導數基本運算公式（方向導數與梯度）4

此算子稱為哈密爾頓算子，則函數ψ的梯度也可以寫成▽ψ。

标量函數ψ沿l方向的方向導數就是梯度矢量在l上的投影。當l的方向與梯度方向一緻時，方向導數取得最大值，此時标量函數ψ增加得最快。l方向與梯度方向垂直時，方向導數為0。當l方向與梯度方向相反時，方向導數取得最小值，此時ψ減小得最快。

函數在一點的梯度是這樣一個向量，它的方向是函數在這點的方向導數取得最大值的方向，它的模就等于方向導數的最大值。

我們知道，靜電場中電位函數ψ的負梯度等于電場強度E，因此電場強度E的方向就是電位ψ減小得最快的方向。

以上内容均為個人理解，如有錯誤，歡迎指正。

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