設lim(x->x0)f(x)=A, lim(x->x0)g(x)=B, 則

ps：此時引入一個概念：

若lim(x->x0)f(x)=A，可認為f(x)=A α，α->0 (x->x0)

意思是在x趨向于x0時，函數值等于一個常數加上一個無窮小，下面證明會用到

1、加減法：lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=A±B

證明：

f(x)=A α,α->0 (x->x0)

g(x)=B β,β->0 (x->x0)

∴ f(x) g(x)=A B α β

由無窮小性質的值，(α β)->0

∴ f(x) g(x)=A B γ，γ->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)[f(x) g(x)]=A B (減法同理可證)

2、乘法

（1）若k為常數，lim(x->x0)kf(x)=kA

證明：

f(x)=A α, α->0(x->x0)

kf(x)=kA kα

由無窮小的性質(kα)->0 (x->x0)

∴ kf(x)=kA β,β->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)kf(x)=kA

（2）lim(x->x0)f(x)g(x)=AB

證明：

f(x)=A α,α->0 (x->x0)

g(x)=B β,β->0 (x->x0)

f(x)g(x)=(A α)(B β)=AB Bα Aβ αβ

由無窮小的性質(Bα Aβ αβ)->0 (x->x0)

∴ f(x)g(x)=AB γ, γ->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)f(x)g(x)=AB

3、除法：若lim(x->x0)g(x)=B≠0，則lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B

證明：

f(x)=A α,α->0 (x->x0)

g(x)=B β,β->0 (x->x0)

f(x)/g(x)=(A α)/(B β)這樣很難用到無窮小的性質證明f(x)/g(x)=A/B ...

所以證明f(x)/g(x)-A/B為無窮小比較方便

|f(x)/g(x)-A/B|=|(A α)/(B β)-A/B|

=|(Bα-Aβ)/B(B β)|=|Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)

|Bα-Aβ|可由無窮小的性質證明還是無窮小

對于|Bα-Aβ|

all ε>0

存在δ1>0

當0<|x-x0|<δ1, |Bα-Aβ|<ε (1)

對于1/(|B||B β|)

易證1/(|B||B β)<2/(b^2) (2)

結合（1）（2）

all ε>0

存在δ>0

當0<|x-x0|<δ時，||Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)|<ε

所以|Bα-Aβ|*1/(|B||B β|)為無窮小

所以|f(x)/g(x)-A/B|為無窮小

所以lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B

---

例1：lim(x->2)(3x^2-2x 3)

=lim(x->2)(3x^2)-lim(x->2)(2x) lim(x->2)(3)

......

=11

---

例2：lim(x->1)[(x^2 x-2)/(x^2-1)]

=lim(x->1)(x^2 x-2)/lim(x^2-1)

......

=3/2

---

例3：lim(x->∞)[(2x^2-x 2)/(x^2 1)] (分子分母同除以x^2)

=lim(x->∞)[(2-1/x 2/x^2)/(1 1/x^2)]

......

=2

---

例4：lim(x->∞)[(x^2 2x-1)/(x 1)]

=lim(x->∞)[(1 2/x-1/x^2)/(1/x 1/x^2)] (分子是無窮小，不方便計算，改求原函數倒數)

lim(x->∞)[(1/x 1/x^2)/(1 2/x-1/x^2)]=0

由無窮小無窮大性質

lim(x->∞)[(x^2 2x-1)/(x 1)]=∞

二、一元多次分數極限規律

P(x)=anx^n ... a1x a0

Q(x)=bmx^m ... b1x b0

（1）若n=m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=an/bm

（2）若n>m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=∞

（3）若n<m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=0

也就是說，對于一元多次分數的函數，隻看分子分母最高次幂是多少。

三、複合函數極限

設y=f(u) u=g(x)

若lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a

則lim(x->x0)f([g(x)])=A

證明：

all ε>0

∵lim(u->a)f(u)=A

∴存在η>0

當0<|u-a|<η時，|f(u)-A|<ε

對于η>0

∵lim(x->x0)g(x)=a

∴存在δ>0

當0<|x-x0|<δ時， |g(x)-a|<η

∴|f[g(x)]-A|<ε

∴lim(x->x0)f([g(x)])=A

---

也就是說，在求極限時，lim可以移到函數的内部去，比如：

lim(x->x0)[ln(x^2 1)]=ln[lim(x->x0)(x^2 1)]

,

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