第一部份 數與代數

（一）數的認識

整數【正數、0、負數】

一、一個物體也沒有，用0表示。0和1、2、3……都是自然數。自然數是整數。

二、最小的一位數是1，最小的自然數是0。

三、零上4攝氏度記作 4℃；零下4攝氏度記作-4℃。“ 4”讀作正

四。“-4”讀作負四。 4也可以寫成4。

四、像 4、19、 8844這樣的數都是正數。像-4、-11、-7、-155這樣的數都是負數。

五、0既不是正數，也不是負數。正數都大于0，負數都小于0。

六、通常情況下，比海平面高用正數表示，比海平面低用負數表示。

七、通常情況下，盈利用正數表示，虧損用負數表示。

八、通常情況下，上車人數用正數表示，下車人數用負數表示。

九、通常情況下，收入用正數表示，支出用負數表示。

十、通常情況下，上升用正數表示，下降用負數表示。

小數【有限小數、無限小數】

一、分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十

分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……

二、整數和小數都是按照十進制計數法寫出的數，個、十、百……以及十分之

一、百分之一……都是計數單位。每相鄰兩個計數單位間的進率都是

10。

三、每個計數單位所占的位置，叫做數位。數位是按照一定的順序排列的。

四、小數的性質：小數的末尾添上“0”或去掉“0”，小數的大小不變。

五、根據小數的性質，通常可以去掉小數末尾的“0”，把小數化簡。

六、比較小數大小的一般方法：先比較整數部分的數，再依次比較小數部分十分位上的數，百分位上的數，千分位上的數，從左往右，如果哪個數位上的數大，這個小數就大。

七、把一個數改寫成用“萬”或“億”作單位的數，在萬位或億位右邊點上小數點，再在數的後面添寫“萬”字或“億”字。

八、求小數近似數的一般方法：1先要弄清保留幾位小數；2根據需要确定看哪一位上的數；3用“四舍五入”的方法求得結果。

九、整數和小數的數位順序表：

分數【真分數、假分數】

一、把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。表示其中一份的數，是這個分數的分數單位。

二、兩個數相除，它們的商可以用分數表示。即：a÷b=b/a（b≠0）

三、小數和分數的意義可以看出，小數實際上就是分母是10、100、1000…的分數。

四、分數可以分為真分數和假分數。

五、分子小于分母的分數叫做真分數。真分數小于1。

六、分子大于或等于分母的分數叫做假分數。假分數大于或等于1。

七、分子和分母隻有公因數1的分數叫做最簡分數。

八、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（零除外），分數的大小不變。

九、小數的性質和分數的基本性質一緻的，應用分數的基本性質，可以通分和約分。

百分數【稅率、利息、折扣、成數】

一、表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫做百分數。百分數也叫百分率或百分比，百分數通常用“%”表示。

二、分數與百分數比較：

三、分數、小數、百分數的互化。

（1）把分數化成小數，用分數的分子除以分母。

（2）把小數化成分數，先改寫成分母是10、100、1000……的分數，再約分。

（3）把小數化成百分數，先把小數點向右移動兩位，然後添上百分号。

（4）把百分數化成小數，先去掉百分号，然後把小數點向左移動兩位。

（5）把分數化成百分數，先把分數化成小數（除不盡時通常保留三位小數），再把小數化成百分數。

（6）把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。

四、熟記常用三數的互化。

五、

1、出勤率表示出勤人數占總人數的百分之幾。

2、合格率表示合格件數占總件數的百分之幾。

3、成活率表示成活棵數占總棵數的百分之幾。

六、求一個數比另一個數多百分之幾，就是求一個數比另一個數多的占另一個數的百分之幾。

七、1、多的÷“1”=多百分之幾 2、少的÷“1”= 少百分之幾

八、應得利息是稅前利息，實得利息是稅後利息。

九、利息 = 本金 × 利率 × 時間

十、應得利息 －利息稅 = 實得利息

十一、幾折表示十分之幾，表示百分之幾十；幾幾折表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。

十二、

1、原價×折扣=現價

2、現價÷原價=折扣

3、現價÷折扣=原價

十三、幾成表示十分之幾表示百分之幾十；幾成幾表示十分之幾點幾，表示百分之幾十幾。

因數與倍數【素數、合數、奇數、偶數】

一、4 × 3 = 12，12是4的倍數，12也是3的倍數，4和3都是12的因數。

二、一個數最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。一個數倍數的個數是無限的。

三、一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。一個數因數的個數是有限的。

四、5的倍數：個位上的數是5或0。

2的倍數：個位上的數是2、4、6、8或0。2的倍數都是雙數。

3的倍數：各位上數的和一定是3的倍數。

五、是2的倍數的數叫做偶數。不是2的倍數的數叫做奇數。

六、一個數，如果隻有1和它本身兩個因數，這樣的數就叫做素數（或質數）。

七、一個數，如果除了1和它本身還有别的因數，這樣的數就叫做合數。

八、在1—20這些數中： （1既不是素數，也不是合數）

奇數：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。

偶數：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。

素數：2、3、5、7、11、13、17、19。（共8個，和為77。）

合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。（共11個，和為132。）

九、最小的奇數是1，最小的偶數是0，最小的素數是2，最小的合數是4。

十、如果兩個數是倍數關系，則大數是最小公倍數，小數是最大公因數。

十一、如果兩個數隻有公因數1，則最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。

（二）數的運算

計算法則【整數、小數、分數】

一、計算整數加、減法要把相同數位對齊，從低位算起。

二、計算小數加、減法要把小數點對齊，從低位算起。

三、小數乘法：1、先按整數乘法算出積是多少，看因數中一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位，點上小數點。

2、注意：在積裡點小數點時，位數不夠的，要在前面用0補足。

四、小數除法：

1、商的小數點要和被除數的小數點對齊；

2、有餘數時，要在後面添0，繼續往下除；

3、個位不夠商1時，要在商的整數部分寫0，點上小數點，再繼續除。

4、把除數轉化成整數時，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也要向右移動幾位。

5、當被除數的小數位數少于除數的小數位數時，要在被除數的末尾用0補足。

五、一個小數乘10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向右移動一位、兩位、三位……

六、一個小數除以10、100、1000……隻要把這個小數的小數點向左移動一位、兩位、三位……

七、分數加、減法：1同分母分數相加減，把分子相加減，分母不變。2異分母分數相加減，要先通分化成同分母分數，然後再相加減。

八、分數大小的比較：1同分母分數相比較，分子大的大，分子小的小。2異分母的分數相比較，先通分然後再比較；若分子相同，分母大的反而小。

九、分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

十、甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

四則運算關系

兩個規律

一、除法的商不變規律：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

二、乘法的積不變規律：如果一個因數乘幾，另一個因數則除以幾，那麼它們的積不變。

簡便計算

一、運算定律：

二、乘、除法的互化。（小技巧：符号是相反的；兩個數相乘得“1”。）

三、求近似數的方法。

①四舍五入法。 ②進一法。 ③去尾法。

四、積與因數、商與被除數的大小比較：

數量關系

三、式與方程

用字母表示數

一、在一個含有字母的式子裡，數字和字母、字母和字母相乘時，中間的乘号可以記作“· ”，也可以省略不寫。在省略數字與字母之間的乘号時，要把數字寫在字母的前面。

二、2a與a2意義不同：2a表示兩個a相加，a2表示兩個a相乘。即：2a=a＋a，a2= a×a。

三、用字母表示數：

①用字母表示任意數：如X=4 a=6

②用字母表示常見的數量關系：如s=vt

③用字母表示運算定律：如a＋b=b＋a

④用字母表示計算公式：S=ah

方程與等式

一、含有未知數的等式叫做方程。

二、使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。

三、求方程的解的過程，叫做解方程。

四、方程和等式的聯系與區别：

五、等式的基本性質（一）： 等式兩邊同時加上（或減去）一個相同的數，所得結果仍然是等式。

六、等式的基本性質（二）： 等式兩邊同時乘（或除以）一個不等于零的數，所得結果仍然是等式。

七、列方程解應用題的一般步驟：

①弄清題意，找出未知數并用X表示。

②找出應用題中數量間的相等關系，并列出方程。

③求出方程的解。

④檢驗或驗算，寫出答案。

（四）正比例與反比例

比和比例

一、比和比例的聯系與區别：

二、比同分數、除法的聯系與區别：

三、求比值與化簡比的區别：

四、化簡比：

①整數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時除以它們的最大公約數。

②小數比的化簡方法是：先把小數比化成整數比，再按整數比化簡方法化簡。

③分數比的化簡方法是：用比的前項和後項同時乘以分母的最小公倍數。

五、比例尺：我們把圖上距離和實際距離的比叫做這幅圖的比例尺。

六、比例尺=圖上距離︰實際距離 比例尺 = 圖上距離 / 實際距離

正比例、反比例

一、正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系就叫做正比例關系。

二、反比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也随着變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系就叫做反比例關系。

三、正比例與反比例的區别：

第二部份 空間與圖形

（一）圖形的認識、測量

量的計量

一、長度單位是用來測量物體的長度的。常用的長度單位有：千米、米、分米、厘米、毫米。

二、長度單位：

三、面積單位是用來測量物體的表面或平面圖形的大小的。常用面積單位：平方千米、公頃、平方米、平方分米、平方厘米。

四、測量和計算土地面積，通常用公頃作單位。邊長100米的正方形土地，面積是1公頃。

五、測量和計算大面積的土地，通常用平方千米作單位。邊長1000米的正方形土地，面積是1平方千米。

六、面積單位：（100）

七、體積單位是用來測量物體所占空間的大小的。常用的體積單位有：立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。

八、體積單位：（1000）

九、常用的質量單位有：噸、千克、克。

十、質量單位：

十一、常用的時間單位有：

世紀、年、季度、月、旬、日、時、分、秒。

十二、時間單位：（60）

十三、高級單位的名數改寫成低級單位的名數應該乘以進率；低級單位的名數改寫成高級單位的名數應該除以進率。

十四、常用計量單位用字母表示：

平面圖形【認識、周長、面積】

一、用直尺把兩點連接起來，就得到一條線段；把線段的一端無限延長，可以得到一條射線；把線段的兩端無限延長，可以得到一條直線。線段、射線都是直線上的一部分。線段有兩個端點，長度是有限的；射線隻有一個端點，直線沒有端點，射線和直線都是無限長的。

二、從一點引出兩條射線，就組成了一個角。角的大小與兩邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。角的大小的計量單位是（°）。

三、角的分類：小于90度的角是銳角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是鈍角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。

四、相交成直角的兩條直線互相垂直；在同一平面不相交的兩條直線互相平行。

五、三角形是由三條線段圍成的圖形。圍成三角形的每條線段叫做三角形的邊，每兩條線段的交點叫做三角形的頂點。

六、三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

按邊分，可以分為等邊三角形、等腰三角形和任意三角形。

七、三角形的内角和等于180度。

八、在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。

九、在一個三角形中，最多隻有一個直角或最多隻有一個鈍角。

十、四邊形是由四條邊圍成的圖形。常見的特殊四邊形有：平行四邊形、長方形、正方形、梯形。

十一、圓是一種曲線圖形。圓上的任意一點到圓心的距離都相等，這個距離就是圓的半徑的長。通過圓心并且兩端都在圓的線段叫做圓的直徑。

十二、有一些圖形，把它沿着一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形。這條直線叫做對稱軸。

十三、圍成一個圖形的所有邊長的總和就是這個圖形的周長。

十四、物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。

十五、平面圖形的面積計算公式推導：

【1】平行四邊形面積公式的推導過程？

①把平行四邊形通過剪切、平移可以轉化成一個長方形。

②長方形的長等于平行四邊形的底，長方形的寬等于平行四邊形的高，長方形的面積等于平行四邊形的面積。

③因為：長方形面積=長×寬，所以：平行四邊形面積=底×高。即：S=ah。

【2】三角形面積公式的推導過程？

①用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。

②平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高等于三角形的高，三角形面積等于和它等底等高的平行四邊形面積的一半

③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：三角形面積=底×高÷2。 即：S=ah÷2。

【3】梯形面積公式的推導過程？

①用兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。

②平行四邊形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四邊形的高等于梯形的高，梯形面積等于平行四邊形面積的一半。

③因為：平行四邊形面積=底×高，所以：梯形面積=（上底＋下底）×高÷2。即：S=（a b）h÷2。

【4】畫圖說明圓面積公式的推導過程

①把圓分成若幹等份，剪開後，拼成了一個近似的長方形。

②長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。

③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓面積=πr×r=πr2。即：S=πr2。

十六、平面圖形的周長和面積計算公式：

十七、常用數據：

立體圖形【認識、表面積、體積】

一、長方體、正方體都有6個面，12條棱，8個頂點。正方體是特殊的長方體。

二、圓柱的特征：一個側面、兩個底面、無數條高。

三、圓錐的特征：一個側面、一個底面、一個頂點、一條高。

四、表面積：立體圖形所有面的面積的和，叫做這個立體圖形的表面積。

五、體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。容器所能容納其它物體的體積叫做容器的容積。

六、圓柱和圓錐三種關系：

①等底等高： 體積1︰3

②等底等體積：高1︰3

③等高等體積：底面積1︰3

七、等底等高的圓柱和圓錐：

①圓錐體積是圓柱的1/3，

②圓柱體積是圓錐的3倍，

③圓錐體積比圓柱少2/3，

④圓柱體積比圓錐多2倍。

八、等底等高的圓柱和圓錐：錐1、差2、柱3、和4。

九、立體圖形公式推導：

【1】圓柱的側面展開後得到一個什麼圖形？這個圖形的各部分與圓柱有何關系？（圓柱側面積公式的推導過程）

①圓柱的側面展開後一般得到一個長方形。

②長方形的長相當于圓柱的底面周長，長方形的寬相當于圓柱的高。

③因為：長方形面積=長×寬，所以：圓柱側面積=底面周長×高。

④圓柱的側面展開後還可能得到一個正方形。

正方形的邊長=圓柱的底面周長=圓柱的高。

【2】我們在學習圓柱體積的計算公式時，是把圓柱轉化成以前學過的一種立體圖形（近似的）進行推導的，請你說出這種立體圖形的名稱以及它與圓柱體有關部分之間的關系？

①把圓柱分成若幹等份，切開後拼成了一個近似的長方體。

②長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。

③因為：長方體體積=底面積×高，所以：圓柱體積=底面積×高。即：V=Sh。

【3】請畫圖說明圓錐體積公式的推導過程？

①找來等底等高的空圓錐和空圓柱各一隻。

②将圓錐裝滿沙子，倒入圓柱中，發現三次正好裝滿，将圓柱裡的沙子倒入圓錐中，發現三次正好倒完。

③通過實驗發現：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一；圓柱的體積等于和它等底等高的圓錐體積的三倍。即：V=1/3Sh。

十、立體圖形的棱長總和、表面積、體積計算公式：

（二）圖形與變換

一、變換圖形位置的方法有平移、旋轉等，在變換位置時，每個圖形的相應頂點、線段、曲線應同步平移，旋轉相同的角度。

二、不改變圖形的形狀，隻改變它的大小時，通常要使每個圖形的要素，如長方形的長與寬，三角形的底與高等同時按相同比例放大或縮小。

三、對稱圖形是對稱軸兩邊的圖形經對折後能夠完全重合，而不是完全相同。

（三）圖形與位置

一、當我們處在實際生活及情景中，面對教短距離時，通常用上、下、前、後來描述具體位置。

二、當我們面對地圖、方位圖時，通常用東、西、南、北，南偏東、北偏東……來描述方向。再結合所示比例尺計算出具體距離，把方向與距離結合起來确定位置。

第三部份 統計與可能性

（一）統 計

一、我們通常都是通過打勾、畫圓、劃“正”字的方法進行數據的收集和整理。

二、常見的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖三種。

三、條形統計圖的特點：從圖中能清楚地看出各種數量的多少，便于比較。

四、折線統計圖的特點：不但能看出各種數量的多少，而且還能夠清楚地表示出數量增減變化的情況。

五、扇形統計圖的特點：表示各部分和總數之間，以及部分與部分之間的關系。

六、中位數、衆數、平均數

（二）可能性

一、

二、在可能性相同的情況下，比賽遊戲規則是公平的。

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