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等式轉換題型

生活更新时间:2024-12-19 06:17:03

等式的含義是，等号兩邊是完全相同的。那麼在有意義的情況下，對等号兩邊做同樣的處理，等式仍然成立。所謂的處理，可以是加任何表達式、乘任何表達式、任意次數乘方或開方，甚至取指數和對數。前提是做這樣的處理，可以使得等式兩邊都保持有意義、不改變最初等式中變量的取值範圍、且是否會多出原題之外的情況。

數學中在實數範圍内有很多種情況是無意義的，例如分母為0、除數為0、開偶數次根号的底數為負數、0的0次方、對數中的真數不大于0、對數中的底數為1或不大于0、正切函數90°的倍數、以及反三角函數變換的許多範圍。

這些無意義的情況大多出現在反運算中：由于0乘任何數都是0、所以0作為除數或分母才無意義；由于任何實數的偶數次方都不可能為負數，所以負數不能開偶數次根号；由于正實數指數運算恒為正，所以對數的真數不能為負數或0。等等。

在做變換時，一定要注意所做的變換是否包含無意義的情況或者是否會使原來的等式中無意義的情況消失，如果有的話，應該需要對無意義情況單獨讨論分析了。

除了無意義的情況之外，做某些變換會使變換前後的兩個等式不等價，例如

等式轉換題型（等式如何才能等價變換）1

與

等式轉換題型（等式如何才能等價變換）2

等價，而

等式轉換題型（等式如何才能等價變換）3

兩邊同時平方變換成

等式轉換題型（等式如何才能等價變換）2

卻已經與原式不等價了。

等式轉換題型（等式如何才能等價變換）5

隻要時刻記住一點，在做變換時要時刻保持嚴謹，多考慮是否有原題之外的特殊情況發生。

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