當-2<x<1時,求函數y=x(75 19x)的最小值
主要内容:
本文通過二次函數圖像法、均值不等式法和函數導數法,介紹已知當-2<x<1時,求函數y=x(75 19x)的最小值的主要步驟。
※.二次函數圖像法
因為y=x(75 19x),所以y=75x 19x^2=19x^2 75x,
其對稱軸x=b/2a=-75/2*19=-75/38∈(-2, 1),
該二次函數的開口向上,所以在對稱軸處取得最小值,則:
ymin=f(-75/38)
=(-75/38)*(75-19*75/38)
=-5625/76.
※.均等不等式法
由不等式ab≤(a b)^2,a,b∈R 知:
y=x(75 19x)
=-(-x) (75 19x)
=-(1/19)*(-19x)*(75-19x)
因為(-19x)*(75-19x) ≤{[19x (75-19x)]/2}^2,
所以-(1/19)*(-19x)*(75-19x)≥-(1/19){[19x (75-19x)]/2}^2=-(1/19)*( 75/2)^2=-5625/76,
此時19x=75 19x,即x=-75/38∈(-2, 1),
所以函數y的最小值為-5625/76。
※.單調函數法
∵y=x(75 19x),∴y=75x 19x^2,對x求導有:
dy/dx=75 2*19x,令dy/dx=0,則:
75 2*19x=0,此時x=-75/38,且有:
(1) 當x∈(-2,-75/38)時,dy/dx<0,函數為減函數;
(2) 當x∈[-75/38,1)時,dy/dx≥0,函數為增函數。
則當x=-75/38時,y取最小值,此時ymin=-5625/76。
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