當-2

圖文 更新时间:2024-07-20 13:22:07

當-2＜x＜1時，求函數y=x(75 19x)的最小值

主要内容：

本文通過二次函數圖像法、均值不等式法和函數導數法，介紹已知當-2＜x＜1時，求函數y=x(75 19x)的最小值的主要步驟。

※.二次函數圖像法

因為y=x(75 19x)，所以y=75x 19x^2=19x^2 75x,

其對稱軸x=b/2a=-75/2*19=-75/38∈(-2, 1),

該二次函數的開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，則：

ymin=f(-75/38)

=(-75/38)*(75-19*75/38)

=-5625/76.

※.均等不等式法

由不等式ab≤(a b)^2，a，b∈R 知：

y=x(75 19x)

=-(-x) (75 19x)

=-(1/19)*(-19x)*(75-19x)

因為(-19x)*(75-19x) ≤{[19x (75-19x)]/2}^2，

所以-(1/19)*(-19x)*(75-19x)≥-(1/19){[19x (75-19x)]/2}^2=-(1/19)*( 75/2)^2=-5625/76,

此時19x=75 19x，即x=-75/38∈(-2, 1),

所以函數y的最小值為-5625/76。

※.單調函數法

∵y=x(75 19x)，∴y=75x 19x^2,對x求導有：

dy/dx=75 2*19x，令dy/dx=0,則：

75 2*19x=0，此時x=-75/38，且有：

(1) 當x∈(-2，-75/38)時，dy/dx＜0，函數為減函數；

(2) 當x∈[-75/38，1)時，dy/dx≥0，函數為增函數。

則當x=-75/38時，y取最小值，此時ymin=-5625/76。

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