一、單選題

1．如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A，B，D在一條直線上。給出4個結論：①AE=CD；②AB⊥FB；③∠AFC=60°；④△BGH是等邊三角形。其中正确的是（ ）

A．①，②，③ B．①，②，④

C．①，③，④ D．②，③，④

【答案】C

【解析】

【分析】

由題中條件可得△ABE≌△CBD，得出對應邊、對應角相等，進而得出△BHD≌△BGE，△ABG≌△CHB，再由邊角關系即可求解題中結論是否正确，進而可得出結論．

【詳解】

解：①根據題意可知，AB=BC，BE=BD，∠ABC ∠CBE=∠EBD ∠CBE，∴三角形ABE≌三角形CBD，∴AE=CD；

③∵三角形ABE≌三角形CBD，∴∠EAB=∠BCD，∵∠AGB=∠CGF，

∴∠AFC=∠ABC=60°；

④∵∠ABC=∠EBD=60°，

∴∠CBE=60°，

∵AB=BC，∠EAB=∠BCD，

∴三角形AGB≌三角形CHB，

∴GB=BH，

∴三角形BGH為等邊三角形；

②設AB⊥FB，則FB⊥AD，易證△ABF≌△DBF，可得AB=BD，顯然與已知條件矛盾，故②錯誤；

故答案為：C.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是正确尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．

2．一個等腰三角形的周長為40 cm,以一邊為邊作等邊三角形,這個等邊三角形周長為45 cm,那麼這個等腰三角形的底邊長為( )

A．15 cm B．10 cm

C．30 cm或10 cm D．15 cm或10 cm

【答案】D

【解析】

【分析】

此題中沒有明确指出等邊三角形的邊長是等腰三角形的底邊還是腰長，所以我們應該分兩種情況進行分析．先求出等邊三角形的邊長，再分兩種情況進行分析求解．

【詳解】

解：∵等邊三角形周長為45cm，

∴其邊長為15cm，即等腰三角形的一邊為15cm，

則：若該邊為腰長，則底邊為：40-2×15=10cm，

若該邊為底邊，則腰長為：（40-15）÷2=12.5，

∴等腰三角形的底邊為15cm，10cm．

故選：D．

【點睛】

此題中沒有明确指出等邊三角形的邊長是等腰三角形的底邊還是腰長，所以我們應該分兩種情況進行分析．

3．如圖，在三角形PAB中，PA=PB,D、E、F分别是邊PA，PB，AB上的點，且

AD=BF，BE=AF，若∠DFE=34°，則∠P的度數為( )

A．112° B．120° C．146° D．150°

【答案】A

考查的是等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的外角的性質，掌握等邊對等角、全等三角形的判定定理和性質定理、三角形的外角的性質是解題的關鍵．

4．用4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的正方形圖案如圖所示，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為9，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，請觀察圖案，指出以下關系式中不正确的是( )

A．x²＋y²＝49 B．x－y＝3 C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13

【答案】D

5．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連結CE交AD于點F，連結BD交CE于點G，連結BE.下列結論：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S_{四邊形BCDE}＝1/2BD·CE；⑤BC²＋DE²＝BE²＋CD².其中正确的結論有( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【答案】C

【解析】

【分析】

根據等腰直角三角形的性質可得AB＝AC，AD＝AE，然後求出∠BAD＝∠CAE，再利用“邊角邊"證明△ABD和△ACE全等，根據全等三角形對應邊相

等可得CE＝BD，判斷①正确；根據全等三角形對

應角相等可得∠ABD＝∠ACE，從而求出∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，從而得到BD⊥CE，根據四邊形的面積判斷出

④正确；根據勾股定理表示出

，得到⑤正确；再求出AE∥CD時，∠ADC＝90°，判斷出②錯誤；∠AEC與∠BAE不一定相等判斷出③錯誤.

【詳解】

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC, AD＝AE,

∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＋∠CAD,

∠CAE＝∠DAE＋∠CAD＝90＋∠CAD

∴∠BAD＝∠CAE

在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAB),

∴CE＝BD，①正确；

∠ABD＝∠ACF

∠BCG＋∠CBG＝∠ACB＋∠ABC＝90°,

在△BCG中，∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)

＝180°－ 90°＝90°

∴BD⊥CE,

∴四邊形ABCD的面積＝

故④正确；

由勾股定理，在Rt△BCG中

由勾股定理，在Rt△DEG中，

在Rt△BGE中，

在Rt△CDG中,

故⑤正确；

隻有AE∥CD時，∠AEC＝∠DCE，

∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝90°

無法說明AE∥CD，故②錯誤；

∵△ABD≌△ACE

∴∠ADB＝∠AEC

∵∠AEC與∠AEB相等無法證明，

∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③錯誤；

綜上所述，正的結論有①④⑤共3個.

故選C.

【點睛】

熟練掌握全等三角形的證明及角與角之間的轉化是本題解題的關鍵.

6．如圖，某小區有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊AC=4m，BC=3m，考慮到這塊綠地周圍還有足夠多的空餘部分，于是打算将這塊綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以AC為一直角邊的直角三角形，則擴充方案共有（ ）

A．2種 B．3種 C．4種 D．5種

【答案】B

【解析】

由于擴充所得的等腰三角形腰和底不确定，若設擴充所得的三角形是△ABD，則應分為①AB=AD，②AB=BD，③AD=BD，3種情況進行讨論．

故選：B．

【點睛】

此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，關鍵是正确進行分類讨論．

二、填空題

7．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50°，則一個底角為______________．

【答案】70^°或20^°

【解析】

【分析】

、首先根據題意，等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，分兩種情況讨論，①如圖一，當一腰上的高在三角形内部時，即∠ABD=50°時，②如圖二，當一腰上的高在三角形外部時，即∠ABD=50°時；然後根據等腰三角形的性質，分别解答出即可．

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質，知道等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，有兩種情況，一種是高在三角形内部，另一種是高在三角形外部，讀懂題意，是解答本題的關鍵．

8．如果直角三角形一條直角邊長為23，斜邊和另一條直角邊長的長度都是整數，則這個直角三角形斜邊的長為_________________；

【答案】265

【解析】

【分析】

設這個直角三角形的斜邊長為c，另一條直角邊長為b.由勾股定理知

，即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529，又因這個直角三角形的三條邊長都是正整數，可得c－b＝1， c＋b＝529，由此即可求得這個直角三角形斜邊的長.

【詳解】

設這個直角三角形的斜邊長為c，另一條直角邊長為b.

由勾股定理知：

即﹙c－b﹚﹙c＋b﹚＝529＝1×529

∵ 這個直角三角形的三條邊長都是正整數

∴ c－b＝1， c＋b＝529，

解得：c＝265，b＝264.

答：這個直角三角形的斜邊長是265.

故答案為：265.

【點睛】

本題考查了勾股定理及平方差公式的應用，利用勾股定理及平方差公式求得c－b＝1， c＋b＝529是解決問題的關鍵.

9．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，則下面三個結論：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是_____．

【答案】①②

【解析】

【分析】

根據角平分線的性質，和全等三角形的判定，可證Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可證PQ∥AR．

【詳解】

解：連接AP，

在Rt△ASP和Rt△ARP中，

PR=PS，PA=PA，

所以Rt△ASP≌Rt△ARP，

所以①AS=AR正确；

因為AQ=PQ，

所以∠QAP=∠QPA，

又因為Rt△ASP≌Rt△ARP，

所以∠PAR=∠PAQ，

于是∠RAP=∠QPA，

所以②PQ∥AR正确；

③△BRP≌△CSP，根據現有條件無法确定其全等．

故答案為：①②．

【點睛】

此題考查了到角平分線的性質（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）及全等三角形的判定和平行線的判定定理；正确作出輔助線是解答本題的關鍵．

10．在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，則斜邊上的中線長為____．

【答案】2.5或根号34/2

11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D在邊BC上，CD＝3BD，點E、F在線段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面積為12，則△ACF與△BDE的面積之和為__．

【答案】3.

12．已知:如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA，過E作EF⊥AB，F為垂足，下列結論:①△ABD≌△EBC；②∠BCE ∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)

【答案】①②④

13．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，D點從A出發以每秒1cm的速度向B點運動，當D點運動到AC的中垂線上時，運動時間為_____秒．

【答案】25/4

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是線段AB的中點，點E是線段BC上的一個動點，若AC=6，BC=8，則DE長度的取值範圍是_____．

【答案】3≤DE≤5

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