傅裡葉變換和傅裡葉級數是有史以來最偉大的數學發現之一。它們幫助我們将函數分解成其基本成分。它們揭示了任何數學函數的基本模塊，并讓我們能夠使用這些模塊，以便更好地理解和運算它們。但是，傅裡葉級數和傅裡葉變換背後的想法究竟是什麼，這些 "基本成分 "又是什麼？

傅裡葉級數和傅裡葉變換背後的直覺是相同的。

任何函數都可以寫成正弦函數之和。

這個想法很簡單，但卻非常深刻。

我們在高中時都學過什麼是餘弦和正弦。它們将直角三角形的一個角度與兩個邊長的比值聯系起來。另一種理解方式是，餘弦和正弦分别是圍繞單位圓運動的一個點的x和y坐标。它們是人們能想到的最簡單的周期函數之一。

• 正弦和餘弦函數的圖形

• 餘弦和正弦作為繞單位圓運動的點的坐标

由這兩個函數組成的和，可以表示任何數學函數，這一事實讓人驚訝。

但是，傅裡葉級數和傅裡葉變換之間有什麼區别呢？

傅裡葉級數和傅裡葉變換的區别在于，前者用于将周期性函數分解為正弦和餘弦之和，而後者則用于非周期性函數。

現在讓我們來看看這兩者是如何運作的。

傅裡葉級數

正如我們所說，傅裡葉級數用于周期性函數。回顧一下，如果以下等式成立，一個函數f(t)被稱為是周期性的，其最小周期為T。

簡單地說，這意味着該函數以長度為T的時間間隔重複其數值。

• 周期性函數的例子

最後，我們将該周期函數的基本頻率定義為1/T，即周期的倒數。如果說周期告訴我們函數重複的頻率，那麼頻率則告訴我們每單位時間有多少次重複。

現在我們有了定義傅裡葉級數所需要的一切。

傅裡葉級數是正弦函數的無限加權和，每個正弦函數的頻率都是原始周期函數的基頻(1/T)的整數倍。

傅裡葉級數的公式如下：

• 周期性函數g(t)的傅裡葉級數展開

這看起來有點複雜，讓我們把它分解一下。

分解

我們從基本周期為T的周期函數g(t)開始，然後将其表示為兩個無限和。一個是餘弦之和，另一個是正弦之和。這兩個和都是加權的，這意味着它們所包含的每個餘弦和正弦都有一個系數。在我們的例子中，這些系數分别用符号α_m和b_n表示。下标字母m和n是和的計數變量。因此，例如，當m變成1、2、3等時，每個餘弦的系數從α_1變成α_2，α_3以此類推。

還有自變量t，它也是初始函數g(t)的自變量；常數2π，它的存在與對稱性有關；以及分母中的周期T。你可能已經注意到，我們可以用頻率f代替上式中的1/T比率，以避免使用分數。

我們在三角函數中遇到的最後一個符号是每個和的計數變量，m代表餘弦，n代表正弦。它的存在所達到的目的是，在無限的和中，每個餘弦和正弦将有不同的頻率。然而，這些都不是任意的頻率。它們是初始函數g(t)的頻率的整數倍。

計算系數α_m和b_n的公式在下面給出。我們不會多談它們，因為它們對我們的理解沒有幫助。

你現在知道如何将任何周期性函數擴展為餘弦和正弦之和。

傅裡葉級數的替代形式

在我們進入傅裡葉變換之前，我想向你介紹一種替代的，也是等價的傅裡葉數列的表示方法。這就是下面的内容。

• 傅裡葉級數的指數形式

雖然它看起來與我們上面讨論的三角函數形式大不相同，但實際上是等價的。我們所做的隻是利用歐拉公式（該公式将餘弦和正弦與複指數聯系起來），以更簡潔的形式重寫傅裡葉級數。現在，我們不再有兩個和，而隻有一個。

• 歐拉公式

傅裡葉變換

如果你已經理解了我們所說的關于傅裡葉級數的一切，那麼傅裡葉變換就會非常簡單了。這一次，我們關注的是非周期性函數。傅裡葉變換的公式如下。

• 傅裡葉變換

傅裡葉變換的重要性

傅裡葉變換的結果是一個頻率的函數。希臘字母omega，"ω"，是用來表示角頻率的，它是乘積2πf的名字。當初始函數f(t)是一個時間函數時，傅裡葉變換給了我們該函數的頻率内容。

一個時間函數的傅裡葉變換是一個頻率的複值函數，其大小（絕對值）代表了原始函數中存在的該頻率的數量，其參數是該頻率的基本正弦波的相位偏移。傅裡葉變換不限于時間函數，但原始函數的域通常被稱為時域。

我們可以用逆傅裡葉變換把初始函數找回來。

• 傅裡葉和逆傅裡葉變換

詳解

讓我們比較一下傅裡葉逆變換和傅裡葉級數。

首先，我們沒有使用餘弦和正弦（這将産生兩個積分），而是使用一個複指數，以更簡潔的方式表示正弦函數。在積分前出現的系數1/2π是為了對稱。

我們立即注意到的另一件重要事情是，我們現在有了一個積分，而不是一個離散的 "西格瑪 "和。請記住，積分本身就是和，唯一的區别是在積分下被求的量是連續的，而不是離散的。由于初始函數f(t)是非周期性的，我們需要所有可能的頻率，從負無窮大到正無窮大來表示它。在傅裡葉級數的情況下，我們隻使用T的整數倍。由于我們現在沒有一個基本周期T，我們被迫使用所有的周期。

對于複指數的系數，我們得到了在每一個可能的頻率ω下函數的傅裡葉變換的值。正如你所看到的，從傅裡葉級數的概念到逆傅裡葉變換的概念，有一個明顯的一一對應關系。

結束語

正如泰勒級數将一個函數分解為無限的單項式加權和一樣，傅裡葉級數和傅裡葉變換幫助我們将一個周期性函數表示為正弦信号的加權和。正弦信号在數學意義上很容易被運算。如果我們知道一個系統，比如可能是一個有彈簧的經典系統，是如何對正弦波輸入作出反應的，那麼我們就可以用上述的想法将任何其他輸入表示為正弦波之和。因此，很大一部分分析已經完成，數學運算也變得容易多了。由于這個原因，傅裡葉級數以及傅裡葉變換在所有科學領域都有大量的應用，如電子工程、物理和生物。

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