底層邏輯思維是打開數學世界的一把萬能鑰匙。

“刷題”是一個在中小學生口中廣泛流傳的新興詞彙。很多學霸在講述學習經驗時，也會提到“刷題”二字。刷題似乎成為了一把學習的“萬能鑰匙”。

打開百度，搜索“刷題”，你會發現各種刷題軟件，刷題技巧層出不窮。事實上，刷題對大部分學生來說，根本無效!

為什麼會這樣呢？

有人說，方法不對

有人說，數量不夠……

這些答案，聽起來似乎有道理，其實都沒有觸及到本質。

刷題無效的根本原因是：沒有掌握數學的底層邏輯思維。

美國學者喬希·考夫曼說：“無論你學習什麼科目，其中最為美妙的事情便是，你不用知道所有的知識點，而僅僅隻需要知道一些濃縮其核心原理即可，一旦建立起核心原理的框架，學習知識甚至進一步拓展便是輕而易舉的事了。”

美國著名學家和數學教育家波利亞代表作《怎樣解題》，就是教人們在學數學時，如何摒棄不相幹的東西，直搗問題的心髒。

當代數學家N． G．德布魯因曾這樣評價：“波利亞是對我的數學活動影響最大的數學家。他的所有研究都體現出使人愉快的個性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法論、簡捷的手段、有力的結果。如果有人問我，想成為什麼樣的數學家，我會毫不遲疑地回答：波利亞。”

《怎樣解題》最早出版于1944年的美國，這本書之所以經久不衰是因為書中把解題的思維過程制作成一個解題表格，引導我們按照表中的問題和建議思考問題，探索解題路徑，進而掌握解題的一般規律。

下面我們将從理解題目、尋求思路、執行方案、檢驗回顧四個方面，讓大家來了解這本書的核心内容：如何運用數學底層思維進行解題。

接下來，我們先聊一聊理解題目。

理解題目

很多時候，學生拿起題目，囫囵吞棗看了一遍，覺得題目已經很熟悉，就着手開始解題。結果發現題目還是做錯了。

為什麼會出現這種情況？

有人說，是因為粗心大意。

其實，根本原因在于沒有理解題目。

或許你會說，題目我已經很熟悉了，怎麼會沒理解題目呢？

熟悉題目不等于理解題目，熟悉題目隻是理解題目的開始。讀數學題要把題目的主要部分分離出來。

證明題的主要部分是前提和結論，求解題的主要部分是未知量、已知量和條件。

仔細閱讀各部分的主要内容，先一個接一個地依次對他們進行考慮，再将它們以不同的方式組合起來考慮，把每一個細節同其他細節以及每一個問題同整個題目聯系起來。

我們要盡可能清晰、生動地使整個題目形象化。這時，記憶就會活躍起來，尋找題目和過去所獲知識之間的聯系，從而引導解答題目。

如果該題目能用一幅圖表示，就應畫一張圖，在圖上标明未知量和已知數據。畫圖解題法可以培養邏輯思維能力，促進從形象思維逐步過渡到抽象思維。

分離出題目的主要部分進行畫圖，把該題的條件、問題在圖上表明，借助線段圖或實物圖把抽象的數學問題具體化，還原本來的面目，從而找到解決問題的方法。

比如一些求積題，結合題目的内容畫出立體圖，題目就變得直觀、形象，有利于思考解題。

還有一些題目條件多，條件之間關系複雜，一時難以解答。可畫線段圖表示，尋求解題的突破口。

解題不僅可以使用畫圖法，也可以使用圖表法。比如有些問題因為分析的角度不同，因此解題的思路也不同。通過畫圖能清楚看出解題思路，便于分析比較。

解題時通過畫圖來幫助理解題意，起到了化繁為簡、化難為易的作用。

不僅畫圖可以幫助我們理解題目，如果需要給一些對象命名，也可以引入适當的符号。最典型的就是利用方程式解題。

美國數學家G • 波利亞說：“對你不理解的問題作出答複是愚蠢的。為你所不希望的目标工作是悲哀的。”

所以，這個熟悉題目時不夠的，必須深入理解題目。借助畫圖、圖标和符号等各種方式，使題目更加直觀性。

熟悉和理解題目從叙述題目開始，将題目的主要部分分離出來，盡可能清晰、生動地把題目形象化。接着從不同的方面考慮題目，尋找與過去所獲知識之間的聯系，這就是我們下面要聊的内容尋求思路。

尋求思路

在做數學題時，特别是不熟悉的題目，我們會反複讀題，有時會浪費很多時間，最後還是不得要領，寫不出來。

為什麼會出現這種情況呢？

也許你會說，以前沒有遇到過這種類型，不熟悉；

或者說，條件太多了，不知道怎麼下手……

其實，是讀題時關注點不對。

我們讀題時，大部分注意力會放在已知條件上，對于熟悉的題目，已知條件讀完，自然就列出了求解的式子。而不熟悉的題目，就會束手無策。

數學家波利亞告訴我們，解題的關鍵是觀察未知量，盯住目标。我們要把注意力集中在目标上，考慮達到它的方法和途徑。

我們可以問自己：“要求是什麼，你想要什麼，你應該去尋找什麼？”這裡需要用逆向思維來考慮問題，未知量是通過什麼條件與已知數據相聯系？

一般在解題時，我們都需要變化題目，變化題目的方法常用的是類比法、分解和重構。

所謂類比法就是尋找類似題目，我們盡量想出一些你熟悉的具有相同未知量的題目。類比的最大好處，能将陌生的問題轉化為熟悉的問題。

還有一種方法是分解和重組。這個方法的核心策略，就是在整體和細節之間切換觀察。不停地切換視角。先整體觀察題目，再觀察題目的細節，每個細節都觀察到之後，再回到整體。

下面我們看一個例子：一隻熊從P點出發，向正南走一公裡，然後改變方向，向正東走一公裡，然後再向左轉，往正北走一公裡，此時它正好回到了它出發的P點，請問，這隻熊是什麼顔色的？

我們盯住這道題的未知量，未知量是熊的顔色。怎麼從已知數據中得出熊的顔色呢？

顯然，我們的數學公式是計算不出熊的顔色，所以我們需要考慮把問題回歸到數學語言上去。

根據已知條件，我們畫圖得出一個三角形，我們出發的P點位置是正北方。這時，我們發現，P點的方位才是這個題目的真正未知量。

P點應該在北極，北極出現的熊應該是極熊，北極熊的顔色自然是白色。

解答一個題目的主要成就在于構思一個解題方案的思路。解題方案給出了一個總體框架，下面要确信所有細節都符合這個框架。這就是我們接下來要聊的内容：執行方案。

執行方案

要拟定一個方案，構思一個解題思路，并不容易，需要以前的知識，良好的思維習慣等等，而執行一個方案就容易多了。我們需要的主要是耐心。

在尋找問題和過去所獲知識之間的聯系時，會有很多念頭，或有用或沒用，或完整或殘缺。

執行方案前我們需要梳理這些念頭，對于有利的念頭，我們應該考慮的根據一些；對于可靠的念頭，要弄清楚，它可以引導我們走多遠，并重新考慮整個情況。

由于這個有用的念頭，整個情況已經發生了改變，我們需要從不同的方面來考慮新的情況，并找到與過去知識之間的聯系。

這樣做我們會得到什麼呢？

如果幸運，我們會産生一個念頭，這個念頭會引導我們走上解答之路。執行方案方就是從有效念頭開始的。

什麼是有效念頭？

念頭是完整的，可以為我們指示整個或部分途徑，可以或多或少地指導我們如何繼續。

從引導我們獲得解答的那個幸運念頭開始，我們就掌握了主要聯系，可以補充一些次要細節。

解題方案給出了一個總體的框架，我們必須使自己确信細節都符這個框架，所以我們不得不耐心地逐個檢查所有細節，直到每一點都非常清晰，不再有任何可能會隐藏着錯誤的含糊之處。

如果題目十分複雜，可以區分出“大”的步驟和“小”的步驟。每一個大的步驟中又包含好幾個小步驟，先檢査大步驟，再依次深入到一些小的步驟中去。

波利亞在執行方案的時候，給我們列了一個問題清單，我們可以根據這個清單來執行。

每一步都檢查過了嗎？能看出來這一步是對的嗎？能證明這一步是對的嗎？

我們也可以通過形式上的規則來推導出有疑問的關鍵點，即以形式推理确認每一步的正确性。

也可以把注意力放在有疑問的關鍵點上，通過直觀洞察的方法，直到弄明白，從而對每一步的正确性毫不懷疑。

執行解題方案是檢查每一步，确定其正确性。如何進行确保最終結果的正确性，就是我們下面要聊的内容：檢驗回顧。

檢驗回顧

從我們上小學的時候，老師就會反複強調，做完試題一定檢查，保證我們做題的準确性。

怎麼檢驗呢？

有兩種驗證方法：量綱檢驗和特殊化。

乍一聽這兩個名詞覺得很深奧。其實，我們每個人在上小學的時候，都已經會用了這兩種方法。

量綱是長度、面積、重量的标準單位。量綱檢驗是一種快捷而有效檢驗幾何和物理公式的方法。具體做法就是把表達式每一項的單位代入進去，看看兩邊是不是相等。

比如長方體的面積公式，S=ab，左邊是面積，單位是平方厘米；右邊是長和寬，單位都是厘米，相乘後就是立方厘米，這樣兩邊單位都是立方厘米。這種驗證方法就是量綱檢驗。

另一種驗證方法叫做特殊化。簡單來說，就是用具體的值來驗證公式。

還是上面長方形公式，假如長寬都是1厘米，那麼面積就是1平方厘米。為了驗證結果是否正确，我們就把數值1代入到公式中，算出來面積果然也是1平方厘米。

量綱檢驗和特殊化可以組合起來用，如果你的解答有問題，用這兩種檢驗方式，可以快速發現錯誤。

我們理解了題目，找到了思路，完成了解答并且驗證無誤。到這裡，很多人會認為認為解題的任務已經完成了。

但是波利亞告訴我們，還遺漏了解題中一個重要而有益的步驟：回顧。

也許你會問，為什麼還要回顧，這不是浪費時間嗎？

我們要樹立一個思想，解題不隻是為了找到答案，更重要的是找到可複用的解題方法。

怎樣進行有效回顧呢？

波利亞列出了一張清單，幫助我們從不同的方面考慮解答，尋找與過去所獲知識之間的聯系。

清單包括内容：結果檢查了嗎？論證過程檢查了嗎？能否用另外的方法推出結果？能否将方法用于解決其他題目？

一個好老師會讓他的學生深刻認識到：沒有任何一個題目時徹底完成了，總還會有些事情可以做，早經過充分的研究和觀察以後，我們可以将任何解題的方法加以改進，武林五河，我們總可以深化我們對答案的理解。

這樣做的結果不言而喻，即使找不到更新的答案，我們也會獲得條理分明的思路，提高我們的解題能力。

檢驗可以增強我們對結果的确定性，回顧可以提高我們的解題能力。

《怎樣解題》是一本聖經，教會了我們用探索法學習數學，用數學思維解答生活中的難題。

波利亞說：解題是一種實踐性技能，我們可以通過模仿和實踐來學會任何一種實踐性技能。

生活的過程也是一個解題的過程，學會從底層思維看透事物本質，你就會擁有開挂的人生。

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