在複數域中，有個歐拉公式，是歐拉本人在研究虛數的時候發現的。
假定x是複數，則有下面的公式，即歐拉公式：
如果把π帶入歐拉公式，則有：
看到這個式子雖然簡單，但是卻把歐拉數e, 圓周率π， 虛數i，計數的第一個數1，還有0, 外加乘法，加法、幂的運算組合在一起，是不是很神奇？
歐拉公式的證明在中學範圍我還沒有找到可行的方法，如果你學了微積分，這裡給出一個證明。設複數z=cosθ isinθ, 将其在複變範圍内積分：
因此證明了歐拉公式。
如果學習了級數，還有一種證明方法，即将sinx 與cosx 展開成級數有：
帶入z=cosx isinx,
歐拉公式的幾何解釋為，單位圓在複平面的點的變化。即任何複數x可對應單位圓的一個轉角ψ。
任何一個複數a bi (a,b是實數，i是虛數)都可以寫成r, 這樣帶來複數運算的極大方便，即乘除運算，可進行幅角的加減，模的乘除。
歐拉公式能把實數領域的幂運算擴展到複數領域，讀者自己可以證明：
由歐拉公式很容易推導出：
所以不難得出下面的公式：
在實數領域内cosx=2是不可能的，如果x是複數，利用上述式子有：
即對于任何整數k,
最後舉一個用歐拉公式證明三角的和化積差的公式
因為：
所以有：
因此證明得出：
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