三集合容斥問題是公考中的常客，主要通過公式法和畫圖法解決，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式記得特别溜，做題時卻不知用哪個好。如何用1秒的時間快速準确挑選出公式呢？這是我們必須要具備的能力，今天我們一起來習得。

首先，何時能用公式解決三集合容斥問題？

題目中沒有“隻”，即題目中沒有出現隻滿足一個條件的表述。

其次，三集合容斥常用的三個公式是什麼？

（1）标準型：A B C-AB-AC-BC ABC=總-都不的

（2）拓展1：A B C-同時滿足兩項的-2ABC=總-都不的

（3）拓展2：A B C-滿足兩項以上的-ABC=總-都不的

再次，如何1秒挑選三集合容斥公式？

三個公式中，差别最明顯的是關于兩項的描述。若題目給出“滿足AB、滿足AC、滿足BC”的排比式描述，應用标準型公式；若題目給出同時滿足兩項的描述，則用拓展1公式；若題目給出滿足兩項以上的描述，則用拓展2公式。其他的條件在選公式的時候，一點也沒用，直接找題目中關于兩項的描述即可，選公式1秒足已。

最後，如何快速解呢？大部分題目，尾數不同，用尾數法。

來來來，上菜了。

【例1】有關部門對120種抽樣食品進行化驗分析，結果顯示，抗氧化劑達标的有68種，防腐劑達标的有77種，漂白劑達标的有59種，抗氧化劑和防腐劑都達标的有54種，防腐劑和漂白劑都達标的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達标的有35種，三種食品添加劑都達标的有30種，那麼三種食品添加劑都不達标的有（ ）種。

A.14 B.15

C.18 D.17

【秒選公式】題目中出現“抗氧化劑和防腐劑都達标的有54種，防腐劑和漂白劑都達标的有43種，抗氧化劑和漂白劑都達标的有35種”這種排比式的滿足兩項的描述，選标準型。

【答案】C

【解析】本題考查三集合容斥。設三種食品添加劑都不達标的有x種，代入三集合容斥原理标準公式可得：68 77 59-54-43-35 30=120-x，解得x=18（尾數為8）。故本題答案為C選項。

【例2】一旅行團共有50位遊客到某地旅遊，去A景點的遊客有35位，去B景點的遊客有32位，去C景點的遊客有27位，去A、B景點的遊客有20位，去B、C景點的遊客有15位，三個景點都去的遊客有8位，有2位遊客去完一個景點後先行離團，還有1位遊客三個景點都沒去。那麼，50位遊客中有多少位恰好去了兩個景點？（ ）

A.29 B.31

C.35 D.37

【秒選公式】題目中告訴了好多條件，如何選擇公式呢？題目中問“50位遊客中有多少位恰好去了兩個景點”，即同時滿足兩項的個數，選拓展1公式。

【答案】A

【解析】本題考查三集合容斥。設有x位遊客恰好去了兩個景點。由三集合容斥原理公式可得：35 32 27-x-2×8=50-1，尾數法可得x尾數為9。故本題答案為A選項。

【例3】某通訊公司對3542個上網客戶的上網方式進行調查，其中1258個客戶使用手機上網，1852個客戶使用有線網絡上網，932個客戶使用無線網絡上網。如果使用不止一種上網方式的有352個客戶，那麼三種上網方式都使用的客戶有多少個?（ ）

A.148 B.248

C.350 D.500

【秒選公式】題目已知“如果使用不止一種上網方式的有352個客戶”，等價于“使用2種及以上上網方式的有352個客戶”，即滿足兩項以上的個數，選拓展2公式。

【答案】A

【解析】本題考查三集合容斥。設三種上網方式都使用的客戶有x個，代入三集合容斥拓展2公式，1258 1852 932-352-x=3542，解得x=148。故本題答案為A選項。

相信大家已經學會了如何1秒選公式了，接下來，試試身手如何。

【練習1】為豐富職工業餘文化生活，某單位組織了合唱、象棋、羽毛球三項活動。在該單位的所有職工中，參加合唱活動有189人，參加象棋活動有152人，參加羽毛球活動有135人，參加兩種活動的有130人，參加三種活動的有69人，不參加任何一種活動的有44人。該單位的職工人數為（ ）人。

A.233 B.252

C.321 D.520

【秒選公式】題目中已知“參加兩種活動的有130人”，即同時滿足2項的個數，應選拓展1公式。

【答案】B

【解析】本題考查三集合容斥原理。代入三集合容斥原理拓展1公式，189 152 135-130-69×2=總數-44，尾數法可知總數尾數為2。故本題答案為B選項。

【練習2】工廠組織工人參加技能培訓，參加車工培訓的有17人，參加鉗工培訓的有16人，參加鑄工培訓的有14人，參加兩項及以上培訓的人占參加培訓總人數的2/3，三項培訓都參加的有2人，問總共有多少人參加了培訓？（ ）

A.24 B.27

C.30 D.33

【秒選公式】題目中已知“參加兩項及以上培訓的人”，即滿足兩項以上的描述，應選拓展2公式。

【答案】B

【解析】本題考查三集合容斥。設參加培訓的總人數為x，代入三集合容斥原理拓展2公式，17 16 14-2x/3-2=x，得x=27。故本題答案為B選項。

【練習3】針對100名旅遊愛好者進行調查發現，28人喜歡泰山，30人喜歡華山，42人喜歡黃山，8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山，3人喜歡這三個景點，則不喜歡這三個景點中任何一個的有（ ）人。

A.20 B.18

C.17 D.15

【秒選公式】題目中出現“8人既喜歡黃山又喜歡華山，10人既喜歡泰山又喜歡黃山，5人既喜歡華山又喜歡泰山”關于兩項排比式描述，應選标準型。

【答案】A

【解析】本題考查三集合容斥原理。根據三集合标準型公式得，至少喜歡一個景點的人數為28 30 42-8-10-5 3=80，則不喜歡任何一個的人數為20人。故本題答案為A選項。

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