一、數列是高中數學的重要内容之一，其地位和作用體現在以下幾個方面：

(1）數列是一種特殊的函數，它既與函數等知識有密切的關系，又豐富了函數的内容，通過本章學習，可以感受數列與函數的共性與差異，體會數學的整體性；

(2）數列有着廣泛的實際應用，是反映自然規律的基本數學模型，例如，儲蓄、分期付款等有關計算要用到數列的知識，數列的學習有助于培養建模能力，發展應用意識；

(3）通過本章學習可以進一步提高數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等數學核心素養，提高數學學習能力。

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二、本章需要掌握的内容有：

8個重要概念：數列、數列的通項公式、數列的遞推公式、數列的前 n 項和、等差數列、等差中項、等比數列、等比中項；

4個重要公式：等差數列的通項公式、等差數列的前n項和公式、等比數列的通項公式、等比數列的前n項和公式；

5種重要關系：數列與函數、等差數列與一次函數、等比數列與指數函數、數列的前n項和與通項、數列的遞推公式與通項；

12種重要方法：累加法、累乘法、叠代法、構造法、基本量法、性質法、分組求和法、并項求和法、裂項相消求和法、倒序相加法、錯位相減求和法、數學歸納法。

三、思想方法歸納

1，函數與方程的思想

由于數列可以看成定義域為正整數集或正整數集的有限子集的函數在自變量從小到大取值時對應的一列函數值，因此在研究某些數列問題時，利用函數思想既易于理解問題的本質，又簡化了運算，如求等差數列前n項和的最值時，構建二次函數則簡潔明了。此外，在求等差數列或等比數列的基本量（a1與d或q）時，往往要利用方程思想，構建關于基本量的方程（組）。

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2，分類與整合的思想

數列中的某些問題，往往要利用分類與整合的思想來解決。如運用等比數列前n項和公式時，若公比q的取值未知，則需要對q是否為1進行分類讨論；由Sn求an時，需要分n=1和n≥2兩種情況進行分類讨論；求某些數列的前n項和時，需要對n進行分類讨論。通過分類讨論可以将複雜問題簡單化，解題時要注意分類标準的确定。

3，化歸與轉化的思想

化歸與轉化的思想是将陌生、複雜的問題轉化為熟悉、簡單的問題的一種數學思想方法，常利用化歸與轉化的思想解決兩類重要的遞推數列問題，由于高考中屢屢出現此兩類問題，故熟練掌握這種思想方法是很有必要的。

4，數形結合的思想

在研究等差數列和等比數列的通項公式和前n項和Sn時，有時候需借助圖象研究它們的最值和單調性等。

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四、專題歸納總結

1，求數列的通項公式

a，觀察法：給定一個數列的前幾項，通過觀察分析項與其序号之間的關系，從而歸納出一般規律，得到數列的通項公式。

b，由Sn與an的關系求數列的通項公式

由Sn與an構成的遞推關系式，求數列的通項公式的方法有兩種：

(1）利用an=S1(n=1);an=Sn-Sn-1(n≥2)

消去Sn,建立an的遞推關系式，并求an;(2）利用an=Sn- Sn-1(n≥2）代換消去an，建立Sn的遞推關系式，求出Sn後，再求an。

c，由遞推關系式求數列的通項公式

由數列的遞推關系式求數列的通項公式，通常需要對數列的遞推關系式進行化歸，通過累加法、累乘法求通項，或構造等差數列、等比數列求通項，常見的類型有：

(1）形如an 1=an f(n)，求an;

強調：當已知數列中相鄰兩項的差的遞推關系，即an 1-an=f(n)(n屬于N*）時，通常采用累加法求其通項公式，其方法是利用恒等式an=(an-an-1) (an-1-an-2) … (a2-a1) a1求解。

(2)形如an 1=anf(n),求an;

強調：當已知數列中相鄰兩項的商的遞推關系式，即an 1/an=f(n)(n屬于N*）時，通常采用累乘法求其通項an，其方法是利用恒等式an=an/an-1xan-1/an-2×… xa2/a1xa1求解。an -

(3）形如an 1=pan q，求an。

2，等差、等比數列的性質及應用

等差、等比數列的性質主要涉及數列的單調性、最值以及數列的“階段和”，試題充分體現“小”“巧”“活”的特點，題型多以選擇題和填空題的形式出現，一般難度較小。

等差、等比數列的性質有廣泛的應用，靈活、合理地運用這些性質可以減少運算量，使解答順暢簡捷。在運用等比數列的有關公式時，注意設而不求思想和整體思想的應用，使運算與思維相結合才能提高運算能力。

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3，非基本數列求和的方法

a，倒序相加法

如果一個數列｛an｝的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那麼求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前 n 項和公式就是用此法推導的。

b，分組轉化法

如果一個數列的通項公式可寫成cn=an±bn的形式，而數列 {an},{bn｝是等差數列或等比數列或可轉化為能夠求和的數列，那麼可以采用分組轉化法求和。

c，裂項相消法

對于裂項後明顯有能夠相消的項的一類數列，在求和時常用“裂項相消法”，分式的求和多利用此法。可用待定系數法對通項公式進行拆項，相消時應注意各項的規律，即消去哪些項，保留哪些項，有時為了得到規律，前後可多寫幾項。

強調：(1）證明數列為等比數列時，在得到 an 1=qan(n屬于N*)後，不要忘了證明 a 1≠0，這是容易忽視的步驟；

(2）在用裂項相消法求數列的和時，要注意在相消後剩餘的項具有前後對稱的特征，即前面剩下了第幾項，則後面就剩下倒數第幾項，根據此結論可判斷結果是否正确。

d，錯位相減法

若數列｛an}是等差數列，數列{bn｝是等比數列，由這兩個數列的對應項的乘積組成的新數列為{anbn}，當求該數列的前n項和時，常常采用将{anbn｝的各項乘等比數列{bn}的公比q，然後錯位一項與{anbn}的同次項對應相減，即可轉化為特殊數列的求和。

4，數列與其他知識的綜合應用

數列經常與函數、不等式知識相結合，解決此類問題要抓住一個中心﹣﹣函數，兩個密切一是數列和函數之間的密切聯系，數列的通項公式是數列問題的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯系，利用它們之間的對應關系進行靈活的處理。

類題通法：數列中有關項或前n項和的恒成立問題，往往轉化為函數的最值問題；求項或前n項和的不等關系可以利用不等式的性質。

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