還記得函數概念的發展中，有一種解釋是曲線嗎？在17世紀時，當函數概念的認識還處于迷霧階段時，函數就是被當作曲線來研究的。所以，後來稱之為函數概念的幾何起源。而且，通過各種類型的曲線引入了各種類型的函數，例如笛卡爾對于幾何曲線和機械曲線的區别，引出了代數函數和超越函數的區别，等等。可以說，從函數誕生到函數的發展、應用，函數與幾何就密不可分。

函數與幾何緊密的關聯之處是函數的圖象表示。借助它，就可以建立幾何性質和函數性質之間的聯系，例如一條曲線“上升”與“下降”，相應地就是函數的“增”與“減”。沿着這種思路，再聊一種函數圖象特征——凸與凹。

圖1是二次函數的圖象，在圖象上任意選擇兩個點連成一條線段，會發現無論怎樣選擇這兩個點，這條線段都在相應的這兩點所連的函數圖象的上方。

圖1

這類具有“凸”出去這種圖象特征的函數，稱為凸函數。凸函數包括上凸函數和下凸函數，它的圖象稱為凸曲線。從幾何觀點看，下凸曲線的任意一段弧都不在這段弧所對的弦的上方；上凸曲線的任意一段弧都不在這段弧所對的弦的下方。

當然，作為一個數學概念，不可能隻有圖象特征作為标志，還必須有嚴格的定義。凸函數的數學定義如下：

設函數f(x)定義在某區間I上，對于任意的以及任意的，有恒成立，則稱y=f(x)為下凸函數（如圖2）。若恒成立，則稱

為上凸函數（如圖3）。

圖2

圖3

在圖2和圖3中，分别找到了兩個常見函數：指數函數和對數函數，這兩個函數分别是下凸函數和上凸函數，通過分析圖象上任意兩點所連線段中的某個點的橫縱坐标以及和此點橫坐标相同的函數圖象上的點的縱坐标，結合圖象可以看出這兩個縱坐标的大小關系，從而能夠以形象的方式反映出定義式中不等式的大小關系含義。

從圖2和圖3中我們能夠看出，對上凸函數和下凸函數的這兩個定義正是用數學語言來表述出弦AB上的任意一點都在曲線上方（或下方）這個事實的。這也反映出數學定義的嚴謹性和與幾何直觀的一緻性。

在我們熟悉的函數中，幂函數，x>0，α>0,當時α>1，它是下凸函數，當0<α<1時，它是上凸函數。下面我們來具體看幾個幂函數的圖象吧。

繼續考慮考慮二次函數。根據下凸函數的定義，能得到

對任意的是恒成立的。

如果取，可以得到

這樣一個不等式。

如果取，又可以得到不等式

這就是著名的均值不等式了。

當我們認識的函數更多，就能從中找到更多的凸函數，那麼借助于凸函數的性質，也能得到更多的不等式了！

從凸函數可以獲得很多不等式，反之，如何判斷一個函數是不是凸函數呢？

通常，有三種方法：

第一，就是用定義去判斷，即函數是否滿足凸函數定義中不等式的要求，當然這個有點複雜。

第二，也可以利用高等數學中微積分的方法來判斷函數是不是凸函數，當然這個需要更多的微積分的知識。

第三，用信息技術作出函數的圖象，通過觀察圖象是否滿足凸曲線的特征，來判斷一個函數是否為凸函數，這個方法雖然不夠嚴謹，但是也不失為一個辦法吧。

凸函數在高等數學及數學競賽中都有廣泛的應用，是繼函數單調性之後刻畫函數變化規律的非常重要的性質。通俗地說，單調性反映出函數的變化方向，而凹凸性體現的是函數的變化速率。而且與單調性類似，凹凸性也是可以局部反映的，比如有些函數在定義域上不是上凸和下凸函數，但是在某個區間上是上凸或者下凸的。通過函數單調性在不同的定義域的子集上的變化，我們能夠引入極值的概念并應用到更多的函數研究中，相應的借助函數凹凸性在不同的定義域的子集上的變化，我們同樣能夠了解很多函數的有用的性質。

除了用函數的凹凸性得到不等式這個用處，還可以利用函數的性質，繪制函數圖象。下面我們不妨一起來欣賞一個函數吧，例如。

圖6

這是一個普通的四次函數的部分圖象，從圖象上的A點到D點函數都是單調遞減的，看來函數似乎沒有什麼特别的地方[王嵘1] 。但是如果我們放大到圖6并了解到凹凸性也是刻畫函數的一個性質，就會發現，其實在這一段中函數的變化規律并不完全一緻。根據凸函數的定義結合圖象觀察，函數在AB段是上凸的，而在CD段是下凸的。憑借單調性以及凹凸性，我們能更好地認識函數。大家如果感興趣，不妨自己嘗試繪制更多函數的圖象，分析函數性質吧。

同樣地，我們對函數的性質了解得越多，自己解題和研究時繪制的函數圖象也就越精準，也就能更好地展現一個函數的特征。除了單調性、凹凸性，在繪制函數圖象時，還有一種非常重要的“點”——拐點，以及一種非常有用的“線”——漸近線。但是它們的了解都需要導數的知識，如果有興趣，你可以深入學習和探索。

數學的魅力之一就是在于它的關聯性，即數學是一個整體，它具有内在的統一美。就像這裡，曲線的幾何特征，蘊含很多的函數性質；而認識的函數性質越多，就可以從函數到不等式，就可以更多地了解各種曲線。

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