專題1：在平面直角坐标系下探究平行四邊形的存在性問題

【導例】若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在( ).

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【解題策略】

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高．解這類題目的一般思路是：假設存在→推理論證→得出結論．若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷；若導出矛盾，就做出不存在的判斷．

一．已知三定點求第四點構成平行四邊形：

③平移法（填空選擇題）

【解題步驟】

解平行四邊形的存在性問題一般分三步：

第一步：分析背景圖形中的相關信息，結合圖形形成因素，尋找分類标準；

第二步：分析各種狀态的可能性，畫出符合題意的圖形，嘗試畫圖；

第三步：推理和計算，驗證結果．

【導例答案】分三種情況考慮：

①以CB為對角線作平行四邊形ABD1C，此時第四個頂點D1落在第一象限；

②以AC為對角線作平行四邊形ABCD2，此時第四個頂點D2落在第二象限；

③以AB為對角線作平行四邊形ACBD3，此時第四個頂點D3落在第四象限，

則第四個頂點不可能落在第三象限.故選C.

二、已知兩定點來定平行四邊形

1、遇到這類題型需要我們分兩類去讨論：

（1）以兩定點為邊的平行四邊形

（2）以兩定點為對角線的平行四邊形

【解題思路】

1、先依據題意把兩動點的坐标設出來

2、分析各種狀态的可能性，畫出符合題意的圖形，嘗試畫圖（盡可能的标準）

3、根據中點坐标公式或構造三角形全等或相似求動點的坐标

【分析】（1）觀察圖象即可得到答案；

（2）由A，B兩點為定點，則線段AB可作為平四邊形的邊，也可以作為平行四邊的對角線，以此進行分類，結合函數解析式來進行問題的求解．

專題2：動點與平行四邊形的存在性問題探究

【導例】如圖，矩形OABC的位置如圖所示，點B的坐标為(8，4)，點P從點C出發向點O移動，速度為每秒1個單位；點Q同時從點O出發向點A移動，速度為每秒2個單位，設運動時間為t(0≤t≤4).

(1)填空：點A的坐标為____，點C的坐标為_____，點P的坐标為______(用含t的代數式表示).

(2)在點P、Q移動過程中，四邊形OPBQ的面積是否變化?說明理由.

所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類問題．

解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題．解題時要注意動點的起始位置和終止位置、運動方向，有時還要關注動點的運動速度，注意在運動過程中尋找等量關系．

動點問題思路剖析

問題1：動點問題的處理框架是什麼？

答：讀題标注，整合信息（即明确所研究的背景圖形）

問題2：分析運動過程需要關注四要素是什麼？

答：①起點、終點、速度：标注到圖形中，以示說明

②時間範圍：根據路程、時間和速度的公式s=vt，已知動點的速度，結合基本圖形中線段長的研究，可以确定動點的運動時間

③狀态轉折：狀态轉折即點的運協發生變化的時刻，常體現在動點的運動方向，運動速度發生了改變

④目标或結論導向：根據題意作出圖形，有序操作（分段作圖并求解）

問題3：在分析幾何特征，表達時，常見表達線段長的方式有哪些？

答：①路程即線段長，可根據s=vt直接進行表達已走路程或未走路程

②根據研究幾何特征的需求進行表達，即要利用動點的運動情況，又要結合背景圖形信息

Ø 知識點睛

動點問題的解決方法：

1. 研究背景圖形并标注；

2. 分析運動過程，并适時分段；

3. 表達線段長，建等式和方程．

專題3：利用垂線段最短來求平行四邊形中線段最值問題類型探究

線段最值問題是指在一定條件下，求線段長度的最大值或最小值，求線段最值問題的基本方法有：

1、特殊位置與極端位置法，往往先考慮特殊位置或極端位置，确定相應位置時的數值，再進行一般情形下的推證；

2、幾何定理法，應用幾何中的不等量性質，定理，比如“三邊關系”或“将軍飲馬”問題

3、數形結合法：揭示問題中變動元素的代數關系，建立方程或函數來進行處理；

4、軌迹法：探尋動點軌迹而求最值，往往又會涉及到幾何定理法和數形結合法的運用

初二階段所考查的幾何最值問題往往體現在用幾何定理法來求取，即應用幾何中的不等量性質、定理來求取，涉及的知識點包括：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”等，在具體求取中通過“軸對稱”，“平移”，可以找對稱點實現化“折”轉“直”，從而達到問題直觀的轉化，下面我們就來學習一下利用垂線段最短來處理平行四邊形中線段的最值問題．

Ø 知識點睛

【解題策略】

1.觀察發現，分析總結運動變化過程中的不變元素及内在聯系，

2.畫圖建模，畫出取最小值時動點的位置，建立相關模型；

2.知識轉化，根據内在聯系轉化相關線段,應用“垂線段最短” 求出相關線段的最小值.

說明：“化折為直”是我們解決問題的根本，必要時進行利用旋轉類全等化主動點為從動點，進而處理動點形成的最值問題

專題4：與平行四邊形的有關的綜合類探究型問題解析

探索存在型問題是近幾年來考試的熱點問題，這類問題考查的知識面較大，題型也較多，構思巧妙，有相當的深度和難度，有時解題方法較為靈活，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高，首先對于基礎知識的考查一般很到位，其次着眼于學生的的計算和推理能力，一岙沒有固定的解題模式或套路。一般的探究型問題有兩大類：條件型探究與結論型探究，可以嘗試從以下幾個角度進行考慮：

1、利用特殊值法（特定點，特殊數是，特殊線段，特殊位置等）進行歸納、概況，從特殊到一般，從而得出規律；

2、反演推理法（反證法），即假設結論成立，根據假設進行推理，看推導出的結論與前提條件是否存在矛盾還是能與已知條件一緻；

3、分類讨論法，當命題的題設和結論不惟一時，難以進行統一解答時，則需要按可能出現的情況做到既不重複也不遺漏，分類讨論求解，将不同的結論進行歸納得出正确結論

4、類比猜想法，即由一個問題的結論或解決問題的方法類比得出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴密的論證

Ø 知識點睛

解決問題的解法一般思路是：假設存在，推理論證，得出結論，在涉及到幾何圖形的存在型問題時，往往涉及到勾股定理、全等、相似等相關知識的運用，從而轉化邊角之間的對應關系，進而進行相應的推理和計算，

類型一：條件型探究

【分析】（1）根據平行線的性質和等腰三角形的性質證明∠B=∠DPB，∠C=∠EPC，進而可得DB=DP，PE=EC，從而可得四邊形ADPE的周長=AD DP PE AE=AB AC；

（2）當P運動到BC中點時，四邊形ADPE是菱形；首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再證明DP=PE即可得到四邊形ADPE是菱形；

（3）P運動到∠A的平分線上時，四邊形ADPE是菱形，首先證明四邊形ADPE是平行四邊形，再根據平行線的性質可得∠1=∠3，從而可證出∠2=∠3，進而可得AE=EP，然後可得四邊形ADPE是菱形．

類型二：結論型探究

【分析】（1）由折疊的性質可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行線的性質可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可證四邊形BEGF是菱形；

（2）當EG最大時，四邊形BEGF面積有最大值，由勾股定理可求EG的長，即可求解．

專題5：利用軸對稱來處理平行四邊形中

有關“将軍飲馬”類最值問題

【導例】如圖，菱形ABCD的兩條對角線長分别為6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M，N分别是邊AB，BC的中點則PM＋PN的最小值是 ．

線段最值問題是指在一定條件下，求線段長度的最大值或最小值，求線段最值問題的基本方法有：

1、特殊位置與極端位置法，往往先考慮特殊位置或極端位置，确定相應位置時的數值，再進行一般情形下的推證；

2、幾何定理法，應用幾何中的不等量性質，定理，比如“三邊關系”或“将軍飲馬”問題

3、數形結合法：揭示問題中變動元素的代數關系，建立方程或函數來進行處理；

4、軌迹法：探尋動點軌迹而求最值，往往又會涉及到幾何定理法和數形結合法的運用

初二階段所考查的幾何最值問題往往體現在用幾何定理法來求取，即應用幾何中的不等量性質、定理來求取，涉及的知識點包括：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”等，在具體求取中通過“軸對稱”，“平移”，可以找對稱點實現化“折”轉“直”，從而達到問題直觀的轉化，下面我們就來學習一下利用軸對稱來處理平行四邊形中有關的線段最值問題．

Ø 将軍飲馬類型

Ø 知識小結

我們利用三角形三邊關系來求解兩點之間的最值問題，往往需要我們構造一個三角形，這個三角形是是有條件的，即“這個三角形有兩條邊為定值，另外一邊為需要我們求的那條邊” ．“化折為直”是我們解決問題的根本．

專題6：利用三邊關系來求取平行四邊形中線段最值問題類型探究

線段最值問題是指在一定條件下，求線段長度的最大值或最小值，求線段最值問題的基本方法有：

1、特殊位置與極端位置法，往往先考慮特殊位置或極端位置，确定相應位置時的數值，再進行一般情形下的推證；

2、幾何定理法，應用幾何中的不等量性質，定理，比如“三邊關系”或“将軍飲馬”問題

3、數形結合法：揭示問題中變動元素的代數關系，建立方程或函數來進行處理；

4、軌迹法：探尋動點軌迹而求最值，往往又會涉及到幾何定理法和數形結合法的運用

初二階段所考查的幾何最值問題往往體現在用幾何定理法來求取，即應用幾何中的不等量性質、定理來求取，涉及的知識點包括：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關系”等，在具體求取中通過“軸對稱”，“平移”，可以找對稱點實現化“折”轉“直”，從而達到問題直觀的轉化，下面我們就來學習一下利用三邊關系處理兩點之間線段關系來求取平行四邊形中線段的最值問題．

【解題策略】

1.觀察發現，分析總結運動變化過程中的不變元素及内在聯系，

2.畫圖建模，畫出取最小值時動點的位置，建立相關模型；

2.知識轉化，根據内在聯系轉化相關兩線段和差與第三條線段大小之間的比較，,應用“三邊關系”來求取所求線段最值，如何找尋相應的三角形是處理問題的關鍵．

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