注意：下面所說的所有的不等式在大題中都得給出嚴格的證明，不可以寫“由圖得”、“易證”等。
一.與函數y=ex切線有關的常見不等式：ex≥x 1,ex≥ex,其實第一個可以寫成ex-1≥(x-1) 1即ex-1≥x，也就是第二個不等式，所以本質上這二者相同，隻不過從下面的幾何意義看是不同點處的切線。
ex≥x 1還可以變形為e-x≥-x 1，所以可得當x>1時ex>1/(-x 1);當x<1時ex≤1/(-x 1)，如下圖：
切線放縮的本質就是局部的近似，我們可以發現上圖在x=0附近的近似效果就比直線好多了。
将ex≥ex中的x換成x/e，然後兩邊同時e次方，可以得到ex≥xe，如果給你這個不等式，你能否想到通過換元轉化為ex和x的關系呢？
仍然研究ex≥x 1，構造函數f(x)=ex-x-1，可得f(x)≥f(0)=0，f(x)的一個原函數(導函數為f(x)的函數)為g(x)=ex-x2/2-x，顯然g(x)為增函數，且g(0)=1，那麼修改一下，令h(x)=ex-x2/2-x-1，那麼可得當x>0時有ex>x2/2 x 1;當x<0時有ex<x2/2 x 1，如下圖：
大家可以發現這個近似的效果就更好了，依照上面的我們可以進一步的到一個函數y=x3/6 x2/2 x 1，圖像如下：
上面的拟合就更好了，這麼無限的去拟合下去，就得到了大學大家會學到的一個知識，叫泰勒展開式，它能把一個指數函數用多項式函數來拟合，真是太讓人歡樂了，所以簡稱泰勒。
大家沒必要去記這些複雜的，但是如果出現，你得知道可能需要二次求導甚至三次求導才能做出來。比如萬一讓你證明ex≥x3/6 x2/2 x 1，你就得三次求導，當然一般不會三次求導，但是二次求導還是很常見的。
二.同理，對于對數函數y=lnx來說，也有相似的一些結論：lnx≤x-1,lnx≤x/e。
由y=ex和y=lnx互為反函數，所以這兩個不等式和y=ex上述的不等式本質也是相同的，如下圖。另外lnx≤x/e轉化為指數式可得到上面的ex≥xe，所以給了你ex≥xe你是否會想到兩邊取對數構造對數式呢？
lnx≤x-1還可以變形為ln(1/x)≤1/x-1，所以可得lnx≥1-1/x，如下圖：
在高考題中，下列不等式也是經常出現的，
ln(1 x)≤x，如圖：
ln(x 1)≥-x2/2 x:
x≥sinx(x≥0):
cosx≥-x2/2 1:
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