一、知識點歸納

二、解題方法

求雙曲線的标準方程主要是求實半軸長（a）和虛半軸長（b）。基本思路有兩條途徑：

一是根據條件直接求得a與b的值；

二是根據題設條件設出

（a>0，b>0）标準方程，再建立關于a與b的方程組，進而求得a與b的值。

1

直接法

直接法就是不設出雙曲線的标準方程

，而是根據雙曲線及相關圓錐曲線的幾何性質等建立方程（組）直接求出a與b的值。但是求解時，必須首先明确焦點在哪條坐标軸上。

例1、已知雙曲線的離心率為2，焦點是（－4，0），（4，0），則雙曲線方程為（ ）

A.

B.

C.

D.

分析：由焦點坐标可以知道雙曲線焦點位置及半焦距的長c，由離心率可得到實半軸長a與c的關系。

解析：由條件知雙曲線的焦點在x軸上，半焦距c=4，離心率

。所以a=2，

=

，所以雙曲線方程為

，故選A。

總結：解答此類題型的關鍵是要正确判定雙曲線焦點的位置（有焦點在x軸或y軸上或兩種情況并存的情況），以确定标準方程的類型及所求方程的個數。

2

定義法

此方法主要适用于求動點的軌迹方程，解答時必須首先根據題設條件判定所求點的軌迹為雙曲線，然後根據條件中的其他條件确定a、b的值，進而得到雙曲線的标準方程，即為所求點的軌迹。

例2、已知動圓M與C1：

，C2：

均外切，則動圓圓心M的軌迹方程是______________。

分析：根據兩圓相切的條件可以确定出等式

。由此知動圓圓心M的軌迹為雙曲線的一支，然後再根據相關條件求得實半軸長a與虛半軸長b的值。

解析：設動圓M的半徑為r，

則

，

。

∴

，

故點M的軌迹是以C1、C2為焦點，

實軸長為1的雙曲線的一支，

。

∴

（x<0），

M的軌迹為該雙曲線的左支。

總結：本題充分挖掘題設中所給的幾何性質，巧妙運用平面幾何的知識，得到相關線段間的幾何關系，結合圓錐曲線的定義判斷所求點的軌迹的類型，這體現了平面幾何知識在解析幾何中的簡化作用。

3

待定系數法

利用待定系數法，就是根據題設條件設出所求的雙曲線方程，然後建立方程或方程組求得參數。但在求解過程中，若能将條件與雙曲線标準方程特征聯系起來，巧妙設出相應的雙曲線标準方程或變式方程，則可達到避繁就簡的目的。

例3、求中心在原點，對稱軸為坐标軸，且經過點P（

）和Q（

，6）兩點的雙曲線方程。

分析：此題若設雙曲線的标準方程，需分

兩種情況來解，比較繁瑣，如果設方程

（mn≠0）來解，則要簡單得多。

解析：設雙曲線方程為

。

因為點P、Q在雙曲線上，

所以

，

解得

，

所求雙曲線方程為

。

總結：若已知曲線經過兩點，則求橢圓或雙曲線标準方程時，都可将方程設為

=1。

而且這種設法，可用來解決焦點不确定的情況。

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