能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根，對于方程的解(無論何種方程)，其核心是"能使方程左右兩邊相等"，這句話在做題時應該理解為，如果x=a是方程的解，那麼把x=a代入方程，左右兩邊相等。

這就是一元二次方程的定義應用的出發點．通過下面問題明，來說明如何利用這個“定義”解題，使我們解一元二次方程問題達到一個新境界．分類說明如下：

類型一、求方程的根

1. （2018山東菏澤）關于x的一元二次方程(k－1)x² 6x k²－k=0的一個根是0，則k的值是 ．

解析：把x=0代入方程 (k－1)x² 6x k²－k=0得k²－k=0，解得k₁=0, k₂=1，因為方程是一元二次方程，所以k－1≠0，即k≠1，所以k的值為0.

類型二、求參數的值

2．（2018秋•盱眙縣校級月考）閱讀下題的解答過程，請判斷其是否有錯，若有錯誤，請你寫出正确的m值．

已知m是關于x的方程mx²﹣2x m=0的一個根，求m的值．

解：把x=m代入原方程，化簡得m²=m，兩邊同除以m，得m=1

把m=1代入原方程檢驗，可知m=1符合題意．

【解答】錯誤，由于關于x的方程不一定是一元二次方程，∴當m=0時，

此時，方程為﹣2x=0，∴x=0，符合題意，

當m≠0時，∴m³﹣2m m=0，∴m（m²﹣1）=0，∴m²﹣1=0，∴m=±1，

綜上所述，m=0或±1．

【方法點撥】本題考查一元二次方程的解，涉及二次項系數的讨論，當題目沒有限制二次項系數時，要注意分類讨論．

類型三、求作新方程

3．求作一個一元二次方程，使得它的兩根分别是方程x²-2x-1=0的兩根的平方．

解：設所求作新方程的根為y，則y=x²，又x²-2x-1=0得x²=2x 1，即y=2x 1，

∴x=(y-1)/2，∴(y-1)/2是原方程的根，由根的定義得[(y-1)/2]²-2[(y-1)/2]-1=0，整理得：y²-6y 1=0，即為所求作的新方程．

類型四、求代數式的值

4．（2018•涼山州模拟）若a是方程x²﹣2x﹣2015=0的根，則a³﹣3a²﹣2013a 1=______．

【解答】∵a是方程x²﹣2x﹣2015=0的根，∴a²﹣2a﹣2015=0，

∴a²﹣2a=2015，a²=2015 2a，

∴a﹣3a²﹣2013a 1=a（a²﹣2013）﹣3a² 1=a（2a 2015﹣2013）﹣3a² 1，

=2a² 2a﹣3a² 1=﹣（a²﹣2a） 1=﹣2015 1，=﹣2014．

故答案是：﹣2014．

【方法點撥】本題考查了一元二次方程的解的定義．根據題意将所求的代數式變形是解題的難點．

類型五、比較大小

6．設t是一個一元二次方程ax² bx c=0（a≠0）的一個實數根，則判别式△=b²-4ac

與平方式M=（2at b）²的大小關系是（ ）

（A）△＞M（B）△=M（C）△＜M（D）不能确定．

解：∵t是一個一元二次方程的一個實數根，

∴at² bt c=0，∴M=4a²t² 4abt b²=4a²t² 4abt 4ac-4ac b²

=4a(at² bt c=0)-4ac b²=b²-4ac=△，∴應選（B）．

類型六、解公共根問題

7.（2018秋•仁壽縣期中）閱讀理解題：小聰是個非常熱愛學習的學生，老師在黑闆上寫了一題：若方程x²﹣6x﹣k﹣1=0與x²﹣kx﹣7=0有相同根，試求k的值及相同根．思考片刻後，小聰解答如下：

解：設相同根為m，根據題意，得

①﹣②，得（k﹣6）m=k﹣6 ③

顯然，當k=6時，兩個方程相同，即兩個方程有兩個相同根﹣1和7；當k≠6時，由③得m=1，代入②式，得k=﹣6，此時兩個方程有一相同根x=1．

∴當k=﹣6時，有一相同根x=1；當k=6時，有兩個相同根是﹣1和7

聰明的同學，請你仔細閱讀上面的解題過程，解答問題：已知k為非負實數，當k取什麼值時，關于x的方程x² kx﹣1=0與x² x k﹣2=0有相同的實根．

【解答】設相同實根是a 則a² ka﹣1=0，a² a k﹣2=0，

相減得（k﹣1）a﹣1﹣k 2=0，即（k﹣1）a=k﹣1，

若k=1，則兩個方程都是x² x﹣1=0，有兩個相同的根-1/2 √5/2和-1/2-√5/2．

若k≠1，則a=(k-1)/(k-1) =1，即相同實根是x=1，

代入方程，得1² k×1﹣1=0，k=0，

綜上當k=0或k=1時，關于x的方程x² kx﹣1=0與x² x k﹣2=0有相同的實根．

【方法點撥】本題考查了一元二次方程的解，此題有兩個關鍵點，一個是要設出兩個方程的相同實數根，代入運算．另外一根為驗證所求得的k值是否符合題意．

類型七、證明等式

8．若x1,x2是方程ax² bx c（a≠0）的兩根，

題型八、特殊根問題

9．（2018•微山縣校級一模）一元二次方程ax² bx c=0，若4a﹣2b c=0，則它的一個根是（ ）

A．﹣2 B．-1/2 C．﹣4 D．2

【解答】将x=﹣2代入ax² bx c=0的左邊得：a×（﹣2）² b×（﹣2） c=4a﹣2b c，∵4a﹣2b c=0，∴x=﹣2是方程ax² bx c=0的根．故選A．

【方法點撥】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．

10．（2018•吉州區校級模拟）閱讀下面提供的内容：

關于x的一元二次方程ax² bx c=0（a≠0），如果a b c=0，那麼它的兩根分别為x₁=1，x₂=c/a．

證明：因為a b c=0，所以c=﹣a﹣b，将c=﹣a﹣b代入ax² bx c=0，得ax² bx﹣a﹣b=0，即a（x²﹣1） b（x﹣1）=0，所以（x﹣1）（ax a b）=0，所以x₁=1，x₂= (-a-b)/a=c/a．

（1）請利用上面推導的結論，快速求解下列方程：

①5x²﹣4x﹣1=0，x₁=__，x₂=____；

②.5x² 4x﹣9=0，x₁=___，x₂=____；

③x²-(√2-1)x-2 √2=0，x₁=___ ，x₂=___；

（2）請寫出兩個一元二次方程，使它們都有一個根為1．

【解答】解：（1）①1，﹣1/5②1，﹣9/5③1，﹣2 √2；

（2）∵如果a b c=0，那麼它的兩根分别為x₁=1，x₂=c/a．

∴方程如：3x²﹣2x﹣1=0，6x²﹣7x 1=0；

【方法點撥】本題考查了一元二次方程的解的情況，讀懂題意是解決本題的關鍵．

概念是解題的思維細胞，平時學習中應加強概念的理解，通過以上問題求解，不難體會到一元二次方程根的概念實質内涵，淡化形式，注重實質真的很重要。

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