能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫做方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的根,對于方程的解(無論何種方程),其核心是"能使方程左右兩邊相等",這句話在做題時應該理解為,如果x=a是方程的解,那麼把x=a代入方程,左右兩邊相等。
這就是一元二次方程的定義應用的出發點.通過下面問題明,來說明如何利用這個“定義”解題,使我們解一元二次方程問題達到一個新境界.分類說明如下:
類型一、求方程的根
1. (2018山東菏澤)關于x的一元二次方程(k-1)x² 6x k²-k=0的一個根是0,則k的值是 .
解析:把x=0代入方程 (k-1)x² 6x k²-k=0得k2-k=0,解得k1=0, k2=1,因為方程是一元二次方程,所以k-1≠0,即k≠1,所以k的值為0.
類型二、求參數的值
2.(2018秋•盱眙縣校級月考)閱讀下題的解答過程,請判斷其是否有錯,若有錯誤,請你寫出正确的m值.
已知m是關于x的方程mx²﹣2x m=0的一個根,求m的值.
解:把x=m代入原方程,化簡得m²=m,兩邊同除以m,得m=1
把m=1代入原方程檢驗,可知m=1符合題意.
【解答】錯誤,由于關于x的方程不一定是一元二次方程,∴當m=0時,
此時,方程為﹣2x=0,∴x=0,符合題意,
當m≠0時,∴m3﹣2m m=0,∴m(m²﹣1)=0,∴m²﹣1=0,∴m=±1,
綜上所述,m=0或±1.
【方法點撥】本題考查一元二次方程的解,涉及二次項系數的讨論,當題目沒有限制二次項系數時,要注意分類讨論.
類型三、求作新方程
3.求作一個一元二次方程,使得它的兩根分别是方程x²-2x-1=0的兩根的平方.
解:設所求作新方程的根為y,則y=x²,又x²-2x-1=0得x²=2x 1,即y=2x 1,
∴x=(y-1)/2,∴(y-1)/2是原方程的根,由根的定義得[(y-1)/2]²-2[(y-1)/2]-1=0,整理得:y²-6y 1=0,即為所求作的新方程.
類型四、求代數式的值
4.(2018•涼山州模拟)若a是方程x²﹣2x﹣2015=0的根,則a3﹣3a²﹣2013a 1=______.
【解答】∵a是方程x²﹣2x﹣2015=0的根,∴a²﹣2a﹣2015=0,
∴a²﹣2a=2015,a²=2015 2a,
∴a﹣3a²﹣2013a 1=a(a²﹣2013)﹣3a² 1=a(2a 2015﹣2013)﹣3a² 1,
=2a² 2a﹣3a² 1=﹣(a²﹣2a) 1=﹣2015 1,=﹣2014.
故答案是:﹣2014.
【方法點撥】本題考查了一元二次方程的解的定義.根據題意将所求的代數式變形是解題的難點.
類型五、比較大小
6.設t是一個一元二次方程ax² bx c=0(a≠0)的一個實數根,則判别式△=b²-4ac
與平方式M=(2at b)²的大小關系是( )
(A)△>M(B)△=M(C)△<M(D)不能确定.
解:∵t是一個一元二次方程的一個實數根,
∴at² bt c=0,∴M=4a²t² 4abt b²=4a²t² 4abt 4ac-4ac b²
=4a(at² bt c=0)-4ac b²=b²-4ac=△,∴應選(B).
類型六、解公共根問題
7.(2018秋•仁壽縣期中)閱讀理解題:小聰是個非常熱愛學習的學生,老師在黑闆上寫了一題:若方程x²﹣6x﹣k﹣1=0與x²﹣kx﹣7=0有相同根,試求k的值及相同根.思考片刻後,小聰解答如下:
解:設相同根為m,根據題意,得
①﹣②,得(k﹣6)m=k﹣6 ③
顯然,當k=6時,兩個方程相同,即兩個方程有兩個相同根﹣1和7;當k≠6時,由③得m=1,代入②式,得k=﹣6,此時兩個方程有一相同根x=1.
∴當k=﹣6時,有一相同根x=1;當k=6時,有兩個相同根是﹣1和7
聰明的同學,請你仔細閱讀上面的解題過程,解答問題:已知k為非負實數,當k取什麼值時,關于x的方程x2 kx﹣1=0與x2 x k﹣2=0有相同的實根.
【解答】設相同實根是a 則a² ka﹣1=0,a² a k﹣2=0,
相減得(k﹣1)a﹣1﹣k 2=0,即(k﹣1)a=k﹣1,
若k=1,則兩個方程都是x2 x﹣1=0,有兩個相同的根-1/2 √5/2和-1/2-√5/2.
若k≠1,則a=(k-1)/(k-1) =1,即相同實根是x=1,
代入方程,得1² k×1﹣1=0,k=0,
綜上當k=0或k=1時,關于x的方程x² kx﹣1=0與x² x k﹣2=0有相同的實根.
【方法點撥】本題考查了一元二次方程的解,此題有兩個關鍵點,一個是要設出兩個方程的相同實數根,代入運算.另外一根為驗證所求得的k值是否符合題意.
類型七、證明等式
8.若x1,x2是方程ax² bx c(a≠0)的兩根,
題型八、特殊根問題
9.(2018•微山縣校級一模)一元二次方程ax² bx c=0,若4a﹣2b c=0,則它的一個根是( )
A.﹣2 B.-1/2 C.﹣4 D.2
【解答】将x=﹣2代入ax² bx c=0的左邊得:a×(﹣2)² b×(﹣2) c=4a﹣2b c,∵4a﹣2b c=0,∴x=﹣2是方程ax² bx c=0的根.故選A.
【方法點撥】此題考查了一元二次方程的解,方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值.
10.(2018•吉州區校級模拟)閱讀下面提供的内容:
關于x的一元二次方程ax² bx c=0(a≠0),如果a b c=0,那麼它的兩根分别為x1=1,x2=c/a.
證明:因為a b c=0,所以c=﹣a﹣b,将c=﹣a﹣b代入ax2 bx c=0,得ax2 bx﹣a﹣b=0,即a(x²﹣1) b(x﹣1)=0,所以(x﹣1)(ax a b)=0,所以x1=1,x2= (-a-b)/a=c/a.
(1)請利用上面推導的結論,快速求解下列方程:
①5x²﹣4x﹣1=0,x1=__,x2=____;
②.5x² 4x﹣9=0,x1=___,x2=____;
③x²-(√2-1)x-2 √2=0,x1=___ ,x2=___;
(2)請寫出兩個一元二次方程,使它們都有一個根為1.
【解答】解:(1)①1,﹣1/5②1,﹣9/5③1,﹣2 √2;
(2)∵如果a b c=0,那麼它的兩根分别為x1=1,x2=c/a.
∴方程如:3x²﹣2x﹣1=0,6x²﹣7x 1=0;
【方法點撥】本題考查了一元二次方程的解的情況,讀懂題意是解決本題的關鍵.
概念是解題的思維細胞,平時學習中應加強概念的理解,通過以上問題求解,不難體會到一元二次方程根的概念實質内涵,淡化形式,注重實質真的很重要。
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