先說答案：行列式是線性變換的伸縮因子。

理解行列式一定要從線性變換出發去理解，直接去理解它的代數形式是沒有意義的。

這篇文章的結構是：

• 線性變換的幾何直觀
• 實現線性變換的矩陣
• 行列式

1 線性變換的幾何直觀

線性變換的幾何直觀有三個要點：

• 變換前是直線的，變換後依然是直線
• 直線比例保持不變
• 變換前是原點的，變換後依然是原點

比如說旋轉：

比如說推移：

這兩個疊加也是線性變換：

自己動手試一下（觀察下是否符合之前的三個要求）：

2 實現線性變換的矩陣

矩陣可以講的東西非常多，我這裡通過一個具體的例子來展示下矩陣是如何完成線性變換的。

我把基畫出來的原因是因為矩陣變換的其實是基。

舉例子來看看，比如旋轉（旋轉矩陣

)：

如果要說詳細點，實際上：

我們隻需要旋轉基，就可以完成正方形的旋轉：

下面我們看看正方形的旋轉過程中，旋轉矩陣和基是怎樣變化的（為了方便觀察旋轉，我标記出一個頂點）：

再給一個例子，看看推移是怎麼改變基的：

3 行列式

3.1 行列式是線性變換的伸縮因子

我們還是拿旋轉矩陣來舉例子：

什麼意思？我們來看看：

在繼續往下面講之前，我設計了一個動畫，讓你來感受一下，變換矩陣的行列式由正到負，線性變換會怎樣進行（我把基也标注出來）：

掌握了行列式是線性變換的伸縮因子這一點之後，我們就很容易理解各種行列式的值與線性變換的關系。

3.2 行列式>0

行列式>1，很顯然對于圖形有放大的作用：

行列式=1，圖形的大小不會變換：

0<行列式<1，很顯然對于圖形有縮小的作用：

3.3 行列式=0

行列式等于0，有一個重要的結論是，矩陣不可逆。這點也很好理解。

先看看什麼是可逆。原始的圖形是這個樣子：

通過旋轉矩陣，逆時針旋轉 45 度：

再通過另外一個旋轉矩陣，順時針旋轉 45 度：

看起來這個正方形就像沒有變換過一樣，因此

和

互為逆矩陣。

有的線性變換是可逆的，有的不行，比如行列式=0這樣的線性變換就是不可逆的。從圖像上看，圖形會縮成一點：

或者縮成一條直線：

沒有矩陣可以把它們恢複成原來的樣子。

這就好比摔碎的雞蛋、潑出去的水、破了的鏡子：

所謂覆水難收、破鏡難圓就是這個意思。

3.4 行列式<0

原始圖像是這樣的：

被行列式<0的矩陣線性變換後是這樣的：

行列式<0，其實就是改變了基的“左右手法則”。

4 推論

知道了行列式的意義，我們就很容易知道，為什麼說：

我們也很容易知道，為什麼說：

這是因為：

我們也很容易知道，為什麼說三階矩陣的行列式是列組成的平行六面體的體積。

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