有一類函數的圖像看起來像一隻蝙蝠，一隻倒吊着的蝙蝠，您也可以說它像一個倒吊的吸血鬼。當然，這是為了讓大家對它有更深的印象，老黃給它起的一個名字。其實這類函數是最外層帶絕對值符号的絕對值函數。

例如：求f(x)=|x(x^2-1)|的極值.

這樣的函數其實是有兩類極值點的。一類是函數本身的零點，因為f(x)>=0，這是絕對值的性質決定的。所以函數的零點必然在某個鄰域上是最小值點，因此也是整個函數的極小值點。另一類是絕對值内部的内函數g(x)=x(x^2-1)的極值點。不過極值的性質可能發生變化。千萬不要被上面的圖像騙了，錯誤地以為這類極值一定是極大值。其實它有可能是極小值的。

不過有一點可以肯定的是，g(x)的極值，一定也是f(x)=|g(x)|的極值。當g(x)的極值大于0時，則f(x)保持這個極值的性質，極大值仍為極大值，極小值也仍為極小值；當g(x)的極值小于0時，f(x)就會改變這個極值的性質，g(x)的極大值變成f(x)的極小值，而g(x)的極小值就變成了f(x)的極大值。

明确了這些性質，我們再來看看這個問題到底要怎麼解決：

第一步，先确定函數的定義域，連續性和可導的性質。雖然這并不一定是必要的，但卻是非常有意義的。顯然，這裡f(x)是R上的連續函數，且僅在零點上存在不可導的可能性。

第二步，求這類函數的零點，有幾個零點，就得到幾個極小值點。且這些點通常是不可導的。但也未必所有零點都不可導。這是為什麼呢？多動動腦筋，對學習大有好處。比如函數y=|x(x-1)^2|在零點x=1上就可導。您可以作出圖像來，就可以得到印證，但如果想不明白，就要多看看老黃的圖文或視頻作品，其中的原理在老黃的作品中，多處地方有過介紹。

第三步，對函數求導。這時您可能會選擇把原函數先化成分段函數。其實不一定要這樣做，這裡隻需對g(x)=x^3-x求導，再乘以g(x)的符号性質就可以了。

第四步，得到導函數的零點，這些零點是原函數的穩定點。您可以選擇利用極值的第一充分條件，來判斷它們是否是極值點，是什麼極值點。也可以進行：

第五步，求二階導數，檢驗第四步中求得的穩定點。

前兩步所求的是f(x)的第一類極值點，後三步求的是f(x)的第二類極值點。接下來組織解題過程：

解：f(x)是R上的連續函數, 【由于不可導點需要下面求得，所以這裡沒有介紹可導性】

當f(x)=0時, x=0或x=±1.

f’(x)=(3x^2-1)*sgn(x^3-x)，【sgn是取符号性質的函數，函數值是1或-1】

f”(x)=6x*sgn(x^3-x) (x≠0, ±1)，【不管一階導數還是二階導數，都要限定x≠0, ±1】

當f’(x)=0時，x=±根号3 /3，

又f”(根号3 /3)=-2根号<0, f”(-根号3 /3)=-2根号3<0，

∴f有極大值f(根号3/3)=f(-根号/3)=2根号3 /9. 【第二類極值】

又f(x)≥0，∴f有極小值f(0)=f(1)=f(-1)=0. 【第一類極值】

老黃一直堅持分享知識，從小學到大學的數學知識，偶爾還有英語、化學、物理、語文等知識。不論有多麼不讨喜，都希望能得到大家的多多支持！畢竟知識對誰都是有用的，對那些喜歡學習的小夥伴來說，就更有用了。您的支持能鼓勵老黃更加努力地分享知識，也能使更多人有機會學習到知識，謝謝大家！

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