如何記憶三角函數對應的角度?文/大罕（王方漢）【提問】以角度為自變量可以建立三角函數嗎？有人說不行，因為以角度為元素的集合不是數集．又有人說，角度帶有單位，應該是常量，不是實數．到底如何解釋呢？【回複】角度，通常指一個角的大小用度分秒制表示出來的數字．1°表示一個角的大小是周角的360分之一．1°當然不是實數．但是，把1°中的數值1單獨抽出來說，這個1是實數．這樣說當然是對的．任意給定一個角α(正角、負角或零角)，總可以用度分秒制的度數表示它的大小，這個α角的大小就是n度，再把其中的n單獨抽出來看，n是一個實數（這個過程實際上與用弧度制表示角時把弧度二字省略是一樣的)．反之，任意給定一個實數n，我們總可以找到一個角α使其度數為n．于是角n的集合與實數集R建立了一一對應的關系．因此，我們能以角度n為自變量建立正弦函數等三角函數．必須指出的是，以角度為自變量的函數，它給我們帶來的麻煩不僅是不可勝數而且是無處不在的，而弧度制處處顯示它的優越性．首先是換算．度分秒制裡的數，并用着十進制和六十進制例如角α＝136°47′21"，其中136、47、21都是十進制，而度、分、秒之間是六十進制．于是，為了找出與角α對應的實數n，人工計算肯定是比較麻煩的．其次是運算．例如弧度制下，π/3 1=(π 3)/3，暢通無阻．而60° 1怎麼加？難道是60 1＝61（度）嗎？當然不是．更重要的是運用．比如，弧長公式用弧度制是l= αr ，而角度制則是l=nπr/180，麻煩不少．又如求導公式，在弧度制下的求導公式，如用角度制，則統統要改寫，比如自然對數的導數，在弧度制下非常漂亮，用角度制則是自找麻煩再如求定積分，∫(0°,45°)sinxdx=(-cosx)|(0°,45°)=-(cos45°-cos0°) =(√2/2)-1，别别扭扭．總之，用角度制非不行也，乃不便也，故不必也．有人說“其實角度制的數字是帶量綱的，弧度制的數字是不帶量綱的，弧度制下的三角函數問題已經抽象為純粹的數學問題，有更為廣泛的應用．” 角度通常認為它是無量綱的量(與長度不同)．如果堅持說它有量綱，那麼它量綱為1．量綱說到底是物理上的概念，其理論還有點複雜，故不予深究．何況回答上述問題，完全不必扯出量綱來說．有人說“度分秒制表示的角是有理數，不能與實數集一一對應．而弧度制能，所以用弧度制．”從理論上講，度數為無理數的角是存在的，如同弧度制裡有無理數的角一樣，其大小可用有理數去逼近．可見，這個不能成為三角函數用弧度制的角作為自變量的理由．有人說“這個問題教材已經講得很清楚了，建議大家認真閱讀下教材，以角為自變量可以通過弧度數與實數一一對應，自然符合函數的定義呀．”教材裡隻是講清楚了為什麼可以用弧底制定義三角函數，沒有講為什麼不用角度制去定義三角函數．進一步說，教材不是百科全書，不可能把一切可疑的問題都講清楚．關于用角度制定義三角函數的問題，第一不必要講，第二也不好講．有人問“函數作圖，對x、y軸的長度單位要不要求一緻？”作函數圖像時，對x、y軸的長度單位是要求一緻的．否則會因單位不一緻使得圖像“失真”．但是，對于實際應用題的圖像，x、y軸的長度單位可以不一緻，根據情況酌定．有人問“角度制下能不能作出三角函數的圖像？”在角度制下，三角函數的圖像是可以畫出的．不過，要事先要一些約定．比如說，表示1度的實數1，在橫軸上畫一個單位長，90度的正弦值等于1，這個1在縱軸上同樣畫一個單位長，那麼，這樣畫出來的“正弦曲線”非常扁平，看起來缺少美感，也不方便應用．又有人說：“上述這個問題，似在嘴邊，而幾乎沒有想到．明白了這個道理，繼續學習三角，積極性提高了．” 筆者完全贊同這個說法．，下面我們就來說一說關于如何記憶三角函數對應的角度?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

如何記憶三角函數對應的角度

文/大罕（王方漢）【提問】以角度為自變量可以建立三角函數嗎？有人說不行，因為以角度為元素的集合不是數集．又有人說，角度帶有單位，應該是常量，不是實數．到底如何解釋呢？【回複】角度，通常指一個角的大小用度分秒制表示出來的數字．1°表示一個角的大小是周角的360分之一．1°當然不是實數．但是，把1°中的數值1單獨抽出來說，這個1是實數．這樣說當然是對的．任意給定一個角α(正角、負角或零角)，總可以用度分秒制的度數表示它的大小，這個α角的大小就是n度，再把其中的n單獨抽出來看，n是一個實數（這個過程實際上與用弧度制表示角時把弧度二字省略是一樣的)．反之，任意給定一個實數n，我們總可以找到一個角α使其度數為n．于是角n的集合與實數集R建立了一一對應的關系．因此，我們能以角度n為自變量建立正弦函數等三角函數．必須指出的是，以角度為自變量的函數，它給我們帶來的麻煩不僅是不可勝數而且是無處不在的，而弧度制處處顯示它的優越性．首先是換算．度分秒制裡的數，并用着十進制和六十進制。例如角α＝136°47′21"，其中136、47、21都是十進制，而度、分、秒之間是六十進制．于是，為了找出與角α對應的實數n，人工計算肯定是比較麻煩的．其次是運算．例如弧度制下，π/3 1=(π 3)/3，暢通無阻．而60° 1怎麼加？難道是60 1＝61（度）嗎？當然不是．更重要的是運用．比如，弧長公式用弧度制是l= αr ，而角度制則是l=nπr/180，麻煩不少．又如求導公式，在弧度制下的求導公式，如用角度制，則統統要改寫，比如自然對數的導數，在弧度制下非常漂亮，用角度制則是自找麻煩！再如求定積分，∫(0°,45°)sinxdx=(-cosx)|(0°,45°)=-(cos45°-cos0°) =(√2/2)-1，别别扭扭．總之，用角度制非不行也，乃不便也，故不必也．有人說“其實角度制的數字是帶量綱的，弧度制的數字是不帶量綱的，弧度制下的三角函數問題已經抽象為純粹的數學問題，有更為廣泛的應用．” 角度通常認為它是無量綱的量(與長度不同)．如果堅持說它有量綱，那麼它量綱為1．量綱說到底是物理上的概念，其理論還有點複雜，故不予深究．何況回答上述問題，完全不必扯出量綱來說．有人說“度分秒制表示的角是有理數，不能與實數集一一對應．而弧度制能，所以用弧度制．”從理論上講，度數為無理數的角是存在的，如同弧度制裡有無理數的角一樣，其大小可用有理數去逼近．可見，這個不能成為三角函數用弧度制的角作為自變量的理由．有人說“這個問題教材已經講得很清楚了，建議大家認真閱讀下教材，以角為自變量可以通過弧度數與實數一一對應，自然符合函數的定義呀．”教材裡隻是講清楚了為什麼可以用弧底制定義三角函數，沒有講為什麼不用角度制去定義三角函數．進一步說，教材不是百科全書，不可能把一切可疑的問題都講清楚．關于用角度制定義三角函數的問題，第一不必要講，第二也不好講．有人問“函數作圖，對x、y軸的長度單位要不要求一緻？”作函數圖像時，對x、y軸的長度單位是要求一緻的．否則會因單位不一緻使得圖像“失真”．但是，對于實際應用題的圖像，x、y軸的長度單位可以不一緻，根據情況酌定．有人問“角度制下能不能作出三角函數的圖像？”在角度制下，三角函數的圖像是可以畫出的．不過，要事先要一些約定．比如說，表示1度的實數1，在橫軸上畫一個單位長，90度的正弦值等于1，這個1在縱軸上同樣畫一個單位長，那麼，這樣畫出來的“正弦曲線”非常扁平，看起來缺少美感，也不方便應用．又有人說：“上述這個問題，似在嘴邊，而幾乎沒有想到．明白了這個道理，繼續學習三角，積極性提高了．” 筆者完全贊同這個說法．

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