• 一個單一的方程式統治着世界

如果我說曼德爾布羅特集合，一群松鼠，一個滴水的水龍頭，我們大腦中的神經元放電和熱對流是由一個簡單的方程連接起來的呢？也許你會嘲笑我。但數學比小說更神奇。

讓我們深入研究一下。

假設你想建立一個松鼠種群的模型。今年，有X隻松鼠。那麼，明年的數量會是多少呢？一個簡單的模型可以是，隻要将當前數量乘以一個數字。假設增長率是r，明年松鼠的數量是rX。

如果r=2，這就意味着數量每年會翻一番。但這裡有一個問題。這意味着松鼠的數量将永遠呈指數增長。這并不可能發生。我們用一些約束條件來約束它。讓我們把（1-X）項加到等式中來表示環境的約束條件。

所以它變成了rX(1-X)這裡我們想象X是理論最大值的百分比。X從0到1，當它趨于1時，(1-X)趨于0。

相對而言，明年的松鼠數量是X .ₙ₊相對而言，今年的松鼠數量是 Xₙ₊₁ 。我們得到一個方程：

Xₙ₊₁ = rXₙ(1-Xₙ)

這是logistic映射方程。如果你畫出Xₙ₊₁相對于 Xₙ，你會得到一個反向抛物線。

在這個圖中，t代替了n，但這是一樣的。

這是帶有負反饋回路的最簡單的方程。讓我解釋一下。今年松鼠的數量（ Xₙ）越多，明年的數量（Xₙ₊₁ ）就越少。

讓我們通過例子來理解。

設r為3.4，起始數量Xₙ為0.3（最大數量的30%）。經過計算，我們得到0.816。數量在第一年從0.3增長到0.816。這是一個巨大的增量。但如果我們把0.816作為今年的數量(Xₙ)，明年的數量将是0.510，後年的數量将是0.849。

這裡有些問題。若幹年後，松鼠的數量大約在0.451到0.842之間波動。當增長率為2或接近2時，人口幾乎保持不變。因為兩個孩子取代了他們的父母，所以，在一段時間之後，人口幾乎是不變的。

假設Xₙ是0.35（最大總體的35%），r是2.34。所以，Xₙ₊₁是0.532。之後一年是0.582，之後一年是0.569。一年後，人口将穩定在0.57。它不會增加或減少太多，幾乎固定在0.57，即最大可能數量的57%。數量達到平衡。

現在，即使我們改變初始數量，它遲早還是會達到均衡的。均衡數隻取決于r的值，如果r更低，均衡總體就會更低，如果r小于1，均衡總體遲早會降到0。

現在，讓我們畫另一張圖，x軸是r（增長率），y軸是平衡時的數量。首先，當r小于1時，均衡總體保持為0。但當r越過1時，均衡總體持續增長。

• 單值均衡總體

但是當r大于3時，有趣的事情發生了，也許你們也能猜出來。當我們讓r=3.4時。均衡總體一直在0.84到0.51之間波動。在那之後，如果永遠不會穩定到一個常數值，它就會在兩個值之間來回振蕩。第一年的人口比較多，第二年比較少，然後第三年又比較高。

随着時間的推移，均衡總體分成4個值。種群以4年為一個周期重複。

• 均衡總體的值一直在兩個值之間振蕩。

由于周期的長度增加了一倍，所以稱為倍周期分岔。随着r的增加，它會導緻8、16、32的循環，當r達到約3.57時，就完全混亂了。然後數量就再也沒有安定下來。

• 均衡總體值的混沌。

數量變得随機。它是如此的随機，以至于這是在計算機中生成随機數的主要方法之一。這樣，一個确定性的機器給出了一個不可預測的答案。雖然沒有重複，但是如果您知道初始值，您可以計算給定的值。它實際上是僞随機的。

看看這個圖大概r= 3.83。3年後這個種群又重複了一次。周期為3年。随着r越來越大，循環分裂為6、12、24，然後再次混亂。

你可能會想，它看起來像一個分形。大尺度的特征在小尺度上重複。

也許最著名的分形是曼德爾布羅特集合。

• 曼德爾布羅特集合

分形圖實際上是曼德爾布羅特集合的一部分。

• 曼德爾布羅特集合下的Logistic映射分形

曼德爾布羅特集合到底是什麼？

它是基于一個簡單的公式：Zₙ₊₁= Zₙ² C。所以，取一個數字C，任意一個複數，然後從Zₙ= 0開始計算Zₙ₊₁。現在，重複這個等式，一遍又一遍，一遍又一遍，你就明白我的意思了。

現在，如果這個數字變為無窮大，那麼這個數字（我們假設為C）不是曼德爾布羅特集的一部分。但是，如果這個數字在無限叠代後仍然是有限的，它是曼德爾布羅特集的一部分。

例如，如果C=3，第一次叠代後，Zₙ₊₁=3。第二次叠代後，Zₙ₊₁=12。第三次叠代後，Zₙ₊₁=147。經過無限的叠代，Zₙ₊₁将是無限的。因此，3不是曼德爾布羅特集合的一部分。

同樣，如果C=-1，第一次叠代後，Zₙ₊₁=-1。第二次叠代後，Zₙ₊₁=0。第三次叠代後，Zₙ₊₁=-1。第4次叠代後，Zₙ₊₁=0。相對而言，Zₙ₊₁的值在-1和0之間波動。所以-1是曼德爾布羅特集合的一部分。

曼德爾布羅特集合沒有說明的是這些方程是如何保持有限的。所以，我們叠代了這個方程成千上萬次，并在z軸上畫出了叠代的結果。所以，曼德爾布羅特集合的側視圖實際上是分形圖。

現在，我說這個方程決定了一個物種的數量。這是真的嗎？當然是。特别是在實驗室條件下。不僅如此，這個公式還适用于大量不同的科學領域，而這些領域往往是互不相關的。

阿爾伯特.利布查伯在流體動力學方面的工作首次證實了這個方程。他的實驗包括一個裝有水銀的小矩形盒子。然後他使用一個小的溫度梯度來誘導對流，在他的盒子裡隻有兩個反向旋轉的圓柱體。他在一篇名為《水銀周期加倍，定量測量》的論文中發表了他的發現。研究結果令人震驚。

利布查伯用盒子頂部的探針測量了裡面液體的溫度。他發現溫度有周期性的上升。這類似于邏輯斯蒂方程收斂到一個值。但是，随着溫度的升高，在那些滾動的圓筒上可以看到以原來頻率的一半的擺動。溫度的峰值也在兩個不同的高度之間來回變化。他不斷地提高溫度，他看到周期一遍又一遍地加倍。

• 利布查伯的測試結果。

不僅如此，周期翻倍還可以在其他許多實驗中看到，比如我們和蝾螈的眼睛對閃爍的光的反應。而且，很多研究人員發現，周期會在滴水的水龍頭裡加倍。例如，一開始，你一次隻能看到一滴水。然後一次兩滴。隻要調整旋鈕，你就能從滴水的水龍頭中得到混亂的行為。

如果你覺得分叉圖已經很詭異了，這裡還有更多。物理學家米欽·費根鮑姆用每個分岔截面的寬度除以下一個。這個比率接近于一個數字。這是4.669。數字4.669現在被稱為費根鮑姆常數。分岔會更快地向右，但是比率總是接近這個固定的值4.669。

4。669已經被認為是一個基本常數，因為它與宇宙中存在的任何其他物理常數都不相關。任何有一個駝峰的方程（例如，Xₙ₊₁= sinx），如果你反複叠代它，就會得到一個分叉。而且這些分岔發生的比率也是一樣的，4.669。

分岔圖和費根鮑姆常數被認為是普遍的。因為它出現在數學和物理的很多地方。這種普遍性真的很神奇。

這就是主宰整個宇宙的方程式。讓我更正一下。它不僅僅是一個方程，它是分岔圖和費根鮑姆常數。希望在這一領域有更多的研究，并在更多的自然界現象中檢驗費根鮑姆常數。隻有這樣我們才能解開它真正的力量。

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