一、均值不等式在高中物理中常用的結構形式，一般體現在

①兩數之和一定，求積的最大值；

②兩數之積一定，求和的最小值.

二、對勾函數

對勾函數先是減函數，後是增函數(x＞0區間).

例題：如圖所示電路，電源電動勢E＝6.3V，内電阻r＝0.5Ω，負載電阻R₁＝2Ω，R₂＝3Ω，滑動變阻器的最大阻值R′＝5Ω，當滑動變阻器的滑片P由左端A移到右端B時，電路中電流表的讀數變化範圍是多大？

設外電阻為R，

例題：如圖所示，AOC是光滑的直角金屬導軌，AO沿豎直方向，OC沿水平方向，ab是一根金屬直棒，如圖立在導軌上，b端比a端更靠近O點.它從靜止開始在重力作用下運動，運動過程中b端始終在OC上，a端始終在AO上，直到ab完全落在OC上.整個裝置放在一勻強磁場中，磁場方向垂直紙面向裡，則ab棒在運動過程中()

A.感應電流方向始終是b→a

B.感應電流方向先是b→a，後變為a→b

C.棒受磁場力方向與ab垂直，如圖中箭頭所示方向

D.棒受磁場力方向與ab垂直，開始如圖中箭頭所示方向，後來變為與箭頭所示方向相反

x² y²=L²

S=½xy≦(x² y²)/4=L²/4

當且僅當x=y時，S取最大值

例題：如圖所示，小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面内做圓周運動.當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d後落地，如圖所示.已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為子3d/4，重力加速度為g.忽略手的運動半徑和空氣阻力.

（1）求繩斷時球的速度大小v₁和球落地時的速度v₂.

（2）輕繩能承受的最大拉力是多大？

（3）改變繩長，使球重複上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球抛出的水平距離最大，繩長應是多少？最大水平距離為多少？

例題：在純電阻電路中，電源的最大輸出功率

①利用兩數之積一定，求和的最小值；

R r²/R≥2r

當且僅當R=r時，有最小值.

當R＜r時，輸出功率函數為增函數；當R＞r時，輸出功率函數為減函數.

R r²/R為一個對勾函數.

對應P的最大值為E²/4r.

②利用兩數之和一定，求積的最大值；

U=E-Ir

求P=UI的最大值

P=I(E-rI)≤(E-rI rI)²/2r=E²/2r

當且僅當I=E/2r時，P取最大值.

例題：兩個等量同種點電荷連線的中垂線上電場強度在什麼位置最大.

即求cos²θsinθ的最大值.

當且僅當cos²θ=2sin²θ時，取最大值.

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