初中數學中,三角形是必考考點,而有關三角形的知識點也有很多,全等三角形、三角形角平分線、垂直平分線、等腰三角形和等邊三角形、直角三角形、勾股定理等,這些知識點每個都會成為考點,而在解題之前,首先要了解與之相關的性質和定理,今天,黃小将就為大家整理了初中階段有關三角形的知識點,一起來看看吧。
1、全等三角形
性質:(1)全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
(2)全等三角形的周長相等、面積相等。
(3)全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分别相等。
全等三角形的判定:
①邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。
②角邊角公理(ASA) 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。
③推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
④邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等。
⑤斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
方法總結:出現兩等邊三角形、兩等腰直角三角形通常用 SAS 證全等;等腰直角三角形常見輔助線添法--連結直角頂點和斜邊中點;兩直角三角形證全等常用方法:SAS,AAS,HL;出現等腰直角三角形或正方形可能用到 K 型全等。
2、角平分線
性質定理:角平分線上的點到角兩邊的距離相等。判定定理:到角兩個邊距離相等的點在這個角的角平分線上。拓展:三角形三個角的角平分線的交點到三條邊的距離相等。
角平分線通常用于求點到直線距離、三角形面積角度。拓展三個概念:
重心:三角形中線的交點,重心分中線上下比為2:1。
内心:三角形角平分線的交點,内心到三邊的距離相等。
外心:三角形垂直平分線的交點,外心到三個頂點的距離相等。
角平分線常見的四種輔助線做法:
①如下圖,由角的平分線上的一點向角的一邊或兩邊作垂線,可以用角的平分線性質定理解題;
② 如下圖,以角的平分線為軸,将圖形翻折,在角的平分線兩側構造全等三角形,使已知與結論發生關系出現新的條件;
③ 如下圖,當題設有角平分線及與角平分線垂直的線段,可延長這條線段與角的另一邊相交,構成等腰三角形, 利用等腰三角形的“三線合一” 性質證題;
④如下圖,過角的一邊上的點,作另一邊的平行線,構成等腰三角形——“角平分線 平行,必出等腰 ”
3、垂直平分線
性質定理:線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。
如何判定:到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
拓展:三角形三條邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等。
相關方法總結:出現一點到兩點距離相等的題型,一般要用到垂直平分線;題中看到線段垂直平分線,要想到垂直平分線垂直且平分線段,垂直平分線上點到線段兩端點距離相等,相等邊所對應角相等;翻折題型中常用到垂直平分線、勾股定理。
4、等腰三角形
性質定理:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(三線合一)
判斷:一個三角形的兩個相等的角所對的邊也相等(等角對等邊)
5、等邊三角形
性質定理:等邊三角形的三條邊都相等;等邊三角形的三個内角都相等,都等于60度。等邊三角形的每一條邊都能運用三線合一這一性質。
判斷定理:三條邊都相等的三角形是等邊三角形;三個角都相等的三角形是等邊三角形;有兩個角是 60°的三角形是等邊三角形;有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形。
方法總結:出現等腰三角形通常要分類讨論,在選擇題和填空題中,切勿因為沒有分類讨論而導緻搞錯答案。
6、直角三角形和勾股定理
有一個角是直角的三角形是直角三角形,在直角三角形中,斜邊中線等于斜邊的一半;30度所對的直角邊等于斜邊的一半;直角三角形常用面積法求斜邊上的高。
勾股定理:直角三角形兩直角邊 a,b 的平方和等于斜邊 c 的平方,即 a2+b2=c2。
勾股數一定是正整數,常見勾股數:3,4,5;5,12,13;6,8,10,;7,24,25;8,15,17;9,12,15。
方法總結:
當不明确直角三角形的斜邊長,應把已知最長邊分為直角邊和斜邊兩種情況讨論。無理數在數軸上的表示和線段長表示通常用到勾股定理。翻折題型常用勾股定理(口訣:翻折求邊找直角,勾股定理設未知量)
如果三角形的三邊長 a,b,c 有關系 a2+b2=c2,那麼這個三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理,常用于判斷三角形的形狀,先确定最大邊(可以設為c)
7、銳角三角函數與解直角三角形
常見角度的三角函數值:
直角三角形中邊與角的關系
銳角三角函數應用知識小結:
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