十字相乘法的實質是多項式的乘法，一個三位數也可以寫成多項式的形式，所以兩個三位數的乘法，可以利用多項式的乘法橫向展開來做，還可以利用十字相乘法列豎式劃十字來做。本文隻是在初中學過多項式乘法和十字相乘法之後，回頭再驗證小學數的乘法法則的正确性，以及多項式的乘法與十字相乘法在具體應用方面做一點探讨，給學生和數學愛好者提供一個看問題的視角，絕無意取代小學所學的方法，特此說明。

設兩個三位數分别為100a 10b c，100d 10e f，為說明簡便計，以下我們把三位數的百位，十位，個位，分别簡稱為首，中，末。則

(100a 10b c)(100d 10e f)=ad10^4 (ae bd)10^3 (af be cd)10^2 (bf ce)10 cf,

觀察發現，展開後的結果由五部分構成：

ad10^4，(ae bd)10^3，(af be cd)10^2，(bf ce)10，cf。

其中ad，cf分别為首首相乘，末末相乘，

ae bd，是首中相乘再相加，

bf ce，是中末相乘再相加，

af be cd，是首末相乘，中中相乘，再相加。

而系數10^4,10^3,10^2,10^1,10^0,可以看作起占位作用。

因而，三位數乘法的橫向展開：

(首，中，末)(首，中，末)=(首首，首中交叉乘加，中中 首末交叉乘加，中末交叉乘加，末末)

例題1：291×435

(291)(435)=(8，42，41，48，5)

=8×10^4 42×10^3 41×10^2 48×10 5=126585,

例題2：386×579

(386)(579)=(15，61，113，114，54)

=15×10^4 61×10^3 113×10^2 114×10 54=223494,

至此，可以看出利用多項式的乘法，能夠把三位數的乘法橫向展開。

十字相乘法，列豎式，劃十字；先求積，再累加。求積容易累加難，難在弄清數位，對齊累加。

用十字相乘法嘗試例題1：291×435

由前面的分析，我們知道(291)(435)=(8，42，41，48，5)。

因為兩個三位數相乘的結果，最大是一個六位數(999×999=998001)，關鍵是要清楚：8，42，41，48，5，這五部分在結果中所處的數位。

因而，

8，實際表示8萬，8在萬位，

42，實際表示4萬2千，4在萬位，2在千位，

41，實際表示4千1百，4在千位，1在百位，

48，實際表示4百8十，4在百位，8在十位，

5，實際表示5個，5個個位。

位數相同的數字累加，萬位累加8 4=12，千位累加2 4=6，百位累加1 4=5，十位8，個位5，

最終結果126585。

在豎式中，以數位相同對齊的方式呈現如下：

用十字相乘法嘗試例題2：386×579=223494

(386)(579)=(15，61，113，114，54)=(15萬，61千，113百，114十，54個)

例題3：479×365

由此可見，小學所學列豎式做乘法：用一個因數各數位上的數字去遍乘另一個因數各數位上數字，與兩個多項式相乘，用一個多項式的每一項去遍乘另一個多項式的每一項，是同樣的道理。或者說，初中多項式的乘法就是小學多位數的乘法的理論基礎。小學生隻知道法則，不知道法則背後的數學原理，進入初中以後就可以明白這其中道理，并促進他們由操縱數的運算過渡到操縱字母的運算。

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