事物的發展總是辯證的，運動和變化的元素能給我們解決問題提供方便。但無規則的運動又給解題帶來麻煩。運動和靜止是對立統一的一個整體，動中有靜，因此，解題時要根據條件盡力地使不可捉摸的動态問題變為某個靜态問題處理，即化動為靜。

例1已知圓C的方程為：

直線 L 的方程為：

求證：不論k為何實數時，直線 L與C必相交。

分析：若依常規解法，須通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小關系來判定，則比較麻煩，但若挖掘直線中“靜”的因素，問題則可很簡捷的解答。

證明：∵用直線系方程表示為：

k(x-4) - (y-3)=0

∴L恒過直線L1: x-4=0與 L2: y-3=0的交點M（4，3），而點M（4，3）在圓C内故直線L與圓C必相交。

例2 弦長為L的動弦的兩端在抛物線 y=x^2上運動，求動弦中點的軌迹方程。

分析：弦在運動，弦中點也随之運動，中點的位置由弦的兩個端點确定，但由于弦的兩個端點也是變化的，弦中點軌迹很難确定，而一旦将弦中點“靜化”，弦所在直線方程便可以設出來，此時通過直線方程中的幾何意義就可以迎刃而解。

解：設弦中點坐标為（x0, y0)，弦所在直線方程為：

将直線方程代入抛物線方程得

∴弦中點對應的參數

用(x,y) 代(x0,y0)即可得所求點的軌迹方程，故弦中點的軌迹方程為：

評注：化動為靜，起到了化難為易，化繁為簡的效果。

例3如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，B1C1上的動點，且

AP=B1Q，M，N分别是AB1，PQ的中點，當P在棱AB上移動時，求點N的軌迹。

分析：一些空間圖形中有衆多線線平行關系，若動點與定點連線與定直線平行，則動點就被“鎖定”在靜态的直線上，根據動點移動範圍，便能很快求出軌迹。

解：M點是定點，直線MN是動直線，條件中有線段相等，必有比例相等，直覺顯示，MN應與某直線平行。連PM，延長之，交A1B1于E，由M是AB1的中點知M是PE的中點，因此，MN∥EQ，易知B1E=AP，由AP=B1Q，得B1E=B1Q，所以EQ∥A1C1，于是MN平行于定直線A1C1，所以随着P點移動到B點，Q點移動到C1點，N點的軌迹應是三角形AB1C的中位線MO（不含點M，O是BC1的中點）。

評注：本例由動點N轉化為動直線MN，再由條件知，NM平行于定直線A1C1，因此在運動變化中捕捉到過定點M平行于定直線A1C1的一條靜态直線是解答本題的關鍵。

例4如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC上異于B、C的一定點，點P在側面SCD内部及邊界上運動，且保持EP⊥AC，指出點P的軌迹，證明你的結論。

分析：動點與動線之間、動線與平面之間常存在着相互制約的内在聯系。因此，以線帶點，以面制線，尋找靜态平面便成為探求空間圖形中動點運動軌迹的一大目标。

分析：動點P在側面SCD上運動，且保持PE⊥AC，那麼這些相交于定點E的直線系應位于某個與直線AC垂直的平面内，而由正四棱錐的性質可知，AC垂直于平面SBD，因此動直線PE集中在過E且平行于平面SBD的一個平面内，過E作EF∥SB，GE∥BD，分别交SC于F，交CD于G，則平面EFG∥平面SBD，AC⊥平面EFG，從而點P的軌迹是線段FG。

評注：由已知中的EP⊥AC，轉化為線面垂直，再由條件把動直線EP固定在過E且與已知平面SBD平行的一靜态平面内，起到了以靜制動的效果。

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