上一講當中我們複習了行列式的内容，行列式隻是開胃小菜，線性代數的大頭還是矩陣。

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矩陣的定義很簡單，就是若幹個數按照順序排列在一起的數表。比如m * n個數，排成一個m * n的數表，就稱為一個m * n的矩陣。

矩陣運算的相關性質不多，主要的有這麼幾點：

• 矩陣的加法有結合律和交換律
• 矩陣的乘法沒有交換律
• m*n的矩陣乘上n*k的矩陣的結果是一個m*k的矩陣

很多人會覺得矩陣乘法比較複雜，不僅是計算複雜，而且經常會記不清運算的方法。會覺得複雜，可能隻是因為我們将它當做了數學公式來生硬的記憶，而沒有理解其中的原理。

我們不妨假設A和B分别是一個m*n和n*k的矩陣：

那麼，

其中，

Arowi指的是A矩陣中第i行的行向量，同樣Bcolj指的是B矩陣中第j列的列向量。

我們單從公式上來看不太容易理解，但我們可以轉變一下思路。将B不要當做一個完整的矩陣，而當做是k個列向量的集合，代表一種線性變換。将一個n維的向量線性變換到k維空間的變換。

那麼A和B矩陣相乘的結果，其實也就意味着A矩陣當中m個n維向量分别進行線性變換之後組合成的新矩陣。向量的數量沒有變，還是m個，隻不過維度從n變成了k，所以最終的結果是一個m*k的矩陣。

這點搞明白了之後，就到了接下來的重頭戲——逆矩陣。

我們先來看一下逆矩陣的定義，假設A是一個n階的方陣，如果存在一個矩陣B，使得A⋅B的結果是單位矩陣I，那麼就稱B是A的逆矩陣。

計算逆矩陣需要用到之前介紹過的代數餘子式，如果不清楚的同學可以回顧一下之前關于行列式的相關内容。

線性代數精華1——從行列式開始

我們列舉出所有的代數餘子式，将這些餘子式組合成一個矩陣，這樣的矩陣稱為伴随矩陣。定義如下：

通過上面的定義，我們可以看出來，伴随矩陣也是一個n階的方陣。關于伴随矩陣，有一個定理：

其中I是n階的單位矩陣，也即是正對角線全為1，其他位置均為0的方陣。

我們來試着證明一下這個定理：

顯然A A*也是一個n階的矩陣，令結果為B。我們寫出B矩陣當中的每一項Bij

當i=j時，

在上一篇文章當中，我們介紹過，矩陣中的某一行與它對應的代數餘子式的乘積為行列式的值：

這點其實沒什麼需要證明的，我們把式子展開就可以得到了。為了方便觀察，我們用三階行列式舉例。

我們令

我們以B12為例：

接着，我們把代數餘子式展開：

根據我們之前關于代數餘子式的定義，這個式子其實是以下這個矩陣行列式根據第一行展開的結果：

再根據行列式的性質，如果一個n階的行列式當中存在某兩行或者某兩列相同，那麼行列式的值等于0。

同樣展開其他的Bij，我們可以證明：

所以B=|A|I，使用同樣的方法，也可以證明A∗A=|A|I

我們費這麼大力氣證明伴随矩陣有什麼用呢？其實是為了求逆矩陣做準備。有了伴随矩陣的這個性質，我們求逆矩陣就方便了。

在求解之前，我們先來看一下逆矩陣的定義。

假設存在方陣B，使得AB=BA=I，那麼就稱作B是A的逆矩陣。

在我們介紹逆矩陣的計算方法之前，需要先明确，逆矩陣不等于矩陣轉置。矩陣轉置的操作是将一個矩陣行和列互換，在線性代數當中，矩陣A的轉置記作AT，而A的逆矩陣記作A−1，看起來比較相似，很容易搞混。

我們之前證明了AA∗=|A|I，當矩陣A的行列式|A|不等于0時，那麼顯然有：

根據我們之前逆矩陣的定義：

如果|A|=0怎麼辦？

行列式等于0的矩陣稱為奇異矩陣，奇異矩陣沒有逆矩陣。所以一個矩陣有逆矩陣的前提就是非奇異矩陣。

以上就是逆矩陣的推導過程和計算方法，當然在實際的應用當中，我們并不需要如此麻煩。因為Python的numpy庫當中已經為我們封裝好了現成的計算工具，我們隻需要直接調用即可，使用方法和之前的計算行列式基本一樣：

通過調用np.linalg.inv方法來得到逆矩陣：

需要注意的是，如果a是一個奇異矩陣，那麼計算逆矩陣時會報錯。所以我們在此之前，需要先計算矩陣的行列式，判斷是否是奇異矩陣。不清楚行列式計算方法的同學，可以回顧一下上一篇文章。

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參考資料
線性代數第五版（上海交大出版社）

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