數學題，用二階線性微分方程，求出由電容器、感應器、電阻器構成的閉合電路中的電壓及電流：

符号：電壓u，電流i。第一步，列出二階微分方程，LCu'' RCu' u=E（其中，u為電壓，C為電容，R為電阻，L為感應系數，E為電動勢）

[此方程由L×di/dt R×i u=E轉變而來（di/dt表示“電流”i對“時間”t求導），将i化為u的過程如下：由于i=dq/dt，C=Q/U，即Q=UC，即q=uc，所以dq/dt化為d（uc）/dt，又因C是常數，常數可分離，所以電流i=dq/dt=d（uC）/dt=C×du/dt=C×u'（u'表示u的導數），即iR=Cu'R。∵i=Cu'，∴di/dt是C×u'對t求導，即為C×u''（u''表示u的二階導數，即對u'求導）。原方程L×di/dt R×i u=E即化為LCu'' RCu' u=E，原方程的含義是，内部元件總的電壓相加等于總的電勢能]

第二步，消除二階導數u''前的系數，等式兩邊同時除以LC，微分方程變為u'' R/L×u' 1/LC×u=E/LC。分别代入R，L，C，E的常數值于方程中，其中E單位V，C單位F（1F=10^6μF）（^表示“幂”的意思，如2^3=2³=2的3次方）（以下将多次用到，請牢記，^表示“幂”的含義），L單位H，R單位Ω，将微分方程的系數化為常數，算得，u'' 10^4×u' 5×10^7×u=10^9。

第三步，列出二階微分方程的“特征方程”，将u''換為r²，u'換為r，u改為1，等式右邊消為0，即是“特征方程”，列出一元二次方程：r² 10^4×r 5×10^7=0，求r的解（這一步是為了求出r的取值，代入可得“微分方程”的“通解”）。

如r有兩個根，則分别記r1和r2，則微分方程的通解是C1×e^r1x C2×e^r2x（C1和C2分别表示任意常數。x僅指被求導的對象，如果導數為du/dt，則把x換為t）。

如隻有一個根，r1=r2=r，則微分方程的通解是(C1 C2X)×e^rx。

如r為虛數根，表達式為r=α±iβ（i是虛數），則微分方程通解的表達式為e^αx×（C1×cosβx C2×sinβx）。

本題解得r=-5×10³±5×10³i，即r為虛數根，且α=-5×10³，β=5×10³，把x改為t，則通解為U=e^（-5×10³）t×[C1×cos（5×10³）t C2×sin（5×10³）t]

第四步，求“特解”，呼應通解，微分方程的“解”等于“通解”加“特解”，通解求出，來求“特解”，求特解時，等式右邊還原函數多項式。（U*表示U的特解）設U*為微分方程的特解，假定U*等于三項未知數相乘。三項未知數根據等式右邊函數的三項而确定，講三看！一看，等式右邊有無e，等式右邊的乘式如果有e^λx元素（λ為任意常數），則U*的乘項中添加一項e^λx；二看，等式右邊的函數關于X的最高次數，如是一次方，如X，則U的乘項中添加一項（ax b），如是二次方，如X²，則U*的乘項中添加一項（ax² bx c），x從最高次方依次遞減，減到0次幂，前跟常項系數，依此類推；三看，右式中e^λx，λ的取值，将λ與r的根對照，如相等，λ等于r的一個根，則U*乘項中添一個X，λ等于r的兩個根，則U*乘項中添一個X²，如不等，則不添。三項相乘，則将U*未知數的表達式求出。例如此題，右式為10^9，無e，因e^0x=1，則λ=0，即λ≠-5×10³±5×10³i，則不添X。又，∵右式e^λx=e^0x=1，則U*乘項添1。右式無X，即為Xº，則左式設單一常數A，1×A=A，即U=A

第五步，将u=A代入微分方程u'' 10^4×u' 5×10^7×u=10^9中，即A'' 10^4×A' 5×10^7×A=10^9，得A=20，U*=20，則U=e^（-5×10³）t×[C1×cos（5×10³）t C2×sin（5×10³）t] 20（通解 特解）

第六步，求出C1與C2的具體取值，代入“初值條件”，當t=0時，u=0，∵初始電壓為0。再代入t=0時，u'=0，∵初始電流i=0，而電流i=C×u'，C≠0，即u'=0。再将方程式U=e^（-5×10³）t×[C1×cos（5×10³）t C2×sin（5×10³）t] 20求導，得U'=e^（-5×10³）×[（-5×10³×C1 5×10³×C2）×cos（5×10³）t （-5×10³×C2-5×10³×C1）×sin(5×10³）t]，将t=0時，u=0，u'=0代入解析式，得出C1=-20，C2=-20，将C1和C2代入U中，即U=-20×e^(-5×10³)t[cos（5×10³）t sin（5×10³）t] 20（V)，U得出。

求電流i，∵i=C×u'，即，u'=e^（-5×10³）×(-20)×（-10×10^3）×sin（5×10³)t，C=0.2×10^-6（法），

代入得i=4×10^（-2）×e^（-5×10³）t×sin（5×10³)t（A），i得出。

（高數課後随堂小測驗，據說是“基礎中的基礎”？）

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