矢量分析是學習《電磁波與電磁場》《電動力學》，必備的數學技能。電磁波和電磁場的理解，對我們學習射頻的相關知識是根基。但是，很多朋友在碰到矢量計算的時候，都是百爪撓心。用語言去描述麥克斯韋方程組都神頭鬼臉，來個方程解一下，或者推到個公式都抓瞎。

這是為什麼呢？

原因1、學習路徑長，激勵反饋周期長

首先，我們完全理解和學會的路徑比較長，也就是說，他本身就不是很容易學習的内容。體會到學習成果的激勵反饋比較慢。

也是我們學習的最大障礙，我們可以連續一個小時很愉快的嗑瓜子，但是很難連續一個小時愉快的學習。

能磕一個小時無壓力。我們換個規則，現在你隻能磕，不能吃，瓜子仁留下來。磕一個小時，才把瓜子仁一次吃完。是不是有點無趣了？同樣的時間，瓜子仁也沒少吃，為什麼感覺變了？

很多大事情，都是由一個個小事務重複或叠代而成，每個小事務中，包含了反饋和校正。反饋的周期越短，越為容易上手。磕瓜子容易，因為在兩秒内就能得到反饋。而學習難，因為學習的反饋周期長。一個典型的學習周期是這樣：學習，思考，應用，校正。這個周期越短，學習就越輕松。合理的安排學習計劃，縮短學習周期，同樣的東西，可以學得更高效，輕松。

如果我們學習一個簡單的東西，越直觀的東西越容易學會，往往容易獲得成就感，大家也願意學，願意用。比如說：老年人學習用電腦學了N長時間，也學不會，沒法理解《我的電腦》、《注冊表》、《控制面闆》等等，很快就放棄使用電腦了，不願意用電腦，不願意去理解電腦。但是老年人、小朋友很容易學會使用。

我們去做“矢量分析”的時候，為什麼困難呢？因為我們高數學習的内容在大一考完試的時候已經還給老師了。或者考試靠背題，背完就忘記了。

沒有人幫我們分解，我們學習這門課，需要哪些數學知識。必備的數學知識，在學習的時候，并沒有人告訴我們這些事有用的，或者未來可能做什麼用。（而科學家在發明數學工具的時候，是有某些目的的發明的）。

當同學們發現，屮艸芔茻，當年高數就是糊弄過去的，你現在讓我複習明白？就選擇繼續糊弄這門課了。。。。

根據這樣的知識體系需求，按需學習，減少學習量，避免學習周期過長，而囫囵吞棗，或者半途而廢。

根據大家的大多數人的情況，不建議選擇不講述數學概念的電磁波的書籍。例如這本：

原因2 早期的一些概念誤導，你需要清理自己的大腦内存。

在高中數學時，兩個字母相乘，中間放個點、放個X、什麼都不放，是一個意思。這裡其實對于大多數學生來說，理解沒有什麼障礙，但是在表達習慣上，帶來了嚴重的困擾。

也就是在推導計算的過程中，有的朋友已經習慣了兩個數相乘，中間放個點。但是此點、非彼點。寫多了，就亂了，自己也糊塗了。到底是是矢量還是标量？到底是“點乘”還是“乘以”。

所以，我們需要在這方面做一些訓練，在表達上面，需要區分“點乘”、“叉乘”、“标量相乘”，因為他們具有不同的物理含義，不同的數學計算方法。

原因3、課本中往往隻生硬的介紹數據概念，不解釋物理應用

這裡比較典型的是“點乘”、“叉乘”的概念。

有些課本往往直接給你拍個公式，讓你很茫然。

點積

叉積

這樣的新概念扔給你，一定是一臉懵B。有毛用？我為什麼要掌握它？

但是如果，先幫你回憶一下“做功”的計算過程：

W=FS cosθ 中S是位移，要與路程區别開來。例如，一個人從地面提起物體又放回原地，那麼重力所做的功是多少呢？因為物體又放回原地了，物體位移的大小為零，所以W=0。

那麼這裡：位移是一個矢量、力也是一個矢量。我們以前計算的時候，其實是把這兩個物理量先簡化為标量，然後看夾角。但是我們現在升級了，現在要區分标量和矢量。這兩個物理量，以及計算，直接就标示為：

力有方向、位移也有方向。但是兩者綜合出來的結果，功，沒有方向，是一個标量。而且這個計算結果，是W=FS cosθ ，符合我們原來的認知；

實際對于物理量的理解：力量與位移一緻的方向上才做功，上圖中小聰做了不少無用功，小明相對省功。這一計算過程其實是：力量在位移方向的投影，這個cosθ可以看做是一個投影的過程。

上面的概念并不難理解，但是我為什麼羅裡吧嗦說半天呢？

啟迪未知事物的探索，引導已知事物的深入了解

我們應該從我們已經掌握的知識點出發，去拓展新知識，形成完整的知識體系，形成更高層次的認知，而不是隻是灌輸一些新的概念，然後讓學習者去記憶。

同樣的“叉積”，我們也應該找一個形象的物理模型：

洛倫茲力

在電動力學裡，洛倫茲力（Lorentz force）是運動于電磁場的帶電粒子所受的力。根據洛倫茲力定律，洛倫茲力可以用方程，稱為洛倫茲力方程，表達為

其中， F是洛倫茲力， q是帶電粒子的電荷量，E是電場強度， v是帶電粒子的速度， B是磁感應強度。

洛倫茲力定律是一個基本公理，不是從别的理論推導出來的定律，而是由多次重複完成的實驗所得到的同樣的結果。

感受到電場的作用，正電荷會朝着電場的方向加速；

根據上面的公式：

我們按照“叉積”的右手定則，四指先指向電流的方向，然後彎向磁場方向，就得到了力的方向。

有的朋友要提出了：“洛倫茲力不是左手定律麼？”這裡用“叉積”的時候，怎麼又變成了右手定律？此處我們一定要像印度友人一樣，分得清左右手。右手用于手抓飯，左手做其他事情。。。。

此處，我們用了“vXB”叉積的表達方式之後，我們可以忘記我們的左手。

再舉個例子：梯度。

某書中的描述，又過于口語化表達，弄得讀者很是糊塗：

首先什麼是“最快”？為什麼max值。

就是需要理解“點乘”的最大值，是兩個矢量方向一緻，這樣上述投影才會是最大的。

假設你站在一個山上四處遙望，發現最陡的方向，就是梯度的方向。

其實，幫助大家更利于理解一些概念，需要用一些文科生思維，去描述和解釋一些理科現象和公式，講現象與公式結合起來，才能夠形成這種深刻理解，或者說這種強力記憶點。

因為不是每個人都是數學天才，也不是每個人看到一個概念就能理解，理解一個概念就能夠記住。需要我們通過具象思維，去解釋和關聯一些抽象思維。

否則就成了背題背概念，這種悲劇了。

原因4 書本與書本之間的用語、表達方式不統一

例如 矢量的表達方式，三本書，三種表達方式。

在《高等數學》同濟大學數學教研室，這本書講的是 向量，向量場；而在所有的電磁場、電動力學的課本裡面，又使用 矢量、矢量場。同時，在《高等數學》的課程中，并沒有漢密爾頓算子的介紹。

這裡需要說的，就是某些大學的課程體系不成熟。課程設置的先後順序，教材選擇的合理性，需要優化。

原因5 想象能力

矢量分析，說到底是需要三維想想能力的。

說個簡單的，矢量的加減法，你是否能夠在腦海裡面複現，三維坐标。當解釋梯度、散度、旋度的時候，你是否腦海裡面浮現對應的場景？

其實矢量分析對想象能力、特别是空間想象能力還是有很高的要求的。

愛因斯坦憑借思想實驗，完成了狹義相對論、廣義相對論的

火車思想實驗：狹義相對論的精髓

理解狹義相對論的關鍵，是同時性的相對性。愛因斯坦正是通過火車思想實驗實現這一目的的。在火車思想實驗中，愛因斯坦設想，有一列很長的火車，正在以一恒定的速度v沿着一直線軌道行駛。該火車的兩端分别為A和B，其中間點為M。火車從A向B方向行進（即A為車尾，B為車頭）。同時假定，在某一時刻t，與火車處于相同位置的鐵軌也存在三點A’、B’和M’（三點分别對應于A、B和M）。A’和B’處分别有燈L1和L2，并且L1和L2在t時刻同時打開。那麼，L1和L2的光線到達火車中間點M處（假定在t時刻，M點和M’點是重合的）的時間孰先孰後，還是同時到達？

電梯思想實驗：廣義相對論的拓展

狹義相對論是以四維平直空間中的勻速直線運動為考察對象的，适用于一切慣性系，但無法說明非慣性系中的運動現象。為了克服狹義相對論的不足，将狹義相對論推廣到具有加速度的非慣性系中，愛因斯坦運用了電梯思想實驗為人們打開思路。

在一理想的摩天大樓的頂上，有一正在下降的電梯。在該電梯内，有一物理學家在做實驗。突然，電梯的鋼纜斷了，于是，電梯便處于自由落體狀态向地面降落。在降落的過程中，電梯内的實驗者，拿出一塊手帕和一隻表，然後松開雙手。這兩個物體會怎樣運動呢？電梯外的觀察者以地球作為參考系，他會發現：手帕、表和電梯連同它的天花闆、四壁、地面以及裡面的實驗者等，都以同樣的加速度下落。而電梯裡面的實驗者則會以電梯作為參考系，因為引力場在這一參考系之外而不被考慮，他會發現手帕和表由于不受到任何力的作用，而處于靜止狀态。在等效原理的幫助下，電梯思想實驗告訴我們，引力場和加速度是相等的。廣義相對論成功地拓展到了非慣性系中。

原因6 根因 社會導向

大多數希望把這些概念搞清楚，搞懂的目的，并不是未來我要用，或者說我在其中獲得樂趣。在學校期間，很多同學沒搞懂的原因是，不搞懂，不搞明白，一樣是考試前突擊背題。

也有一些在校的學生問我，為什麼要懂這些，反正未來也用不着。其實不然，如果你希望未來承載更高層次的工作，你的數理能力決定了你的高度。

假設你做嵌入式編程，你需要掌握C語言等基本技能，但是如果需要你實現一些信号處理的算法，你光會C語言、熟悉單片機，就明顯不夠了。需要你掌握更多的數理知識，矩陣運算、偏微分方程、等等數學知識的儲備有顯得尤為重要。

另外，具體就不知道高校裡面對老師是否把學生教會了，這個點，是如何考察的？

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