七年級數學有理數的加減乘除?中學生課外讀物《數的産生與發展》（有理數加減乘除），今天小編就來聊一聊關于七年級數學有理數的加減乘除?接下來我們就一起去研究一下吧!

七年級數學有理數的加減乘除

中學生課外讀物《數的産生與發展》（有理數加減乘除）

1.正分數概念及加減法

兩人上山打了一頭野豬，回去怎麼分？

将一豬分成兩半，一人一半，即一個得到1／2個豬。記為：1÷2＝1／2。若某人拿了兩個一半，則他得了1／2＋1／2＝2×（1／2）＝2／2＝1個豬。

同樣：一塊長方形紙片，三個人去分，折成三等份，每人一份是1／3長方形紙片，記為：1÷3＝1／3。若某人拿了其中2份，則他得了這張紙片的1／3＋1／3＝2×（1／3）＝2／3。若某人拿了其中2份，則他得了這張紙片的1／3＋1／3＋1／3＝3×（1／3）＝3／3＝1，即他得到了整張紙片。

一塊圓餅，分成四等份時，若一個拿一份，一人得1／4個餅。若一人拿2份，則他得了2／4個餅，即半個餅，∴2／4＝1／2。若一人拿3份，則他得1／4＋1／4＋1／4＝3x（1／4）＝3／4個餅。若一人拿4份，則他得1／4＋1／4＋1／4＋1／4＝4x（1／4）＝4／4＝1個餅。

兩個相同的圓餅各分成4等份，若一個人拿7份，則他得到了7／4＝1 3／4＝1（3／4）個餅。

一般地，将多個相同整體，每個分成n等份，某人拿了其中一份，我們稱為他得了這個整體的1／n，若某人拿了其中m份，則他得了1／n＋1／n＋…＋1／n＝m個1／n相加＝m×（1／n）＝m／n。

一般地：若m∈N＋，n∈N＋，n≥2，稱m／n為分數，m叫分子，n叫分母。／叫分數線。

由上知：n∈N＋，n≥2時，n／n＝1，（2n）／n＝2，（3n）／n＝3，（4n）／n＝4，（5n）／n＝5，…，（mn）／n＝m，…。

可見，正整數可以表示成分數形式。如2＝4／2＝10／5＝14／7。但不稱它為分數。

顯然一個整數n可以寫成分母為1的分數形式，即n＝n／1。

由得到的多少來定大小可知：

1／2＜2／2＝1＜3／2＜4／2＝2＜5／2＜6÷2＝3＜7／2＜…，

1／3＜2／3＜3／3＝1＜4／3＜5／3＜6／3＝2＜7／3＜8／3＜9／3＝3＜10／3＜…，

1／2＞1／3＞1／4＞1／5＞1／6＞1／7＞1／8＞…＞1／99＞1／100＞1／101＞…，

顯然所有的正分數都大于0。

1／2＝2／4＝3／6＝4／8＝5／10＝6／12＝7／14＝8／16＝…＝n／（2n），

1／3＝2／6＝3／9＝4／12＝5／15＝6／18＝7／21＝8／24＝…＝n／（3n），

1／4＝2／8＝3／12＝4／16＝5／20＝6／24＝7／28＝8／32＝…＝n／（4n），

1／5＝2／10＝3／15＝4／20＝5／25＝6／30＝7／35＝8／40＝…＝n／（5n），

一般地，m∈N＋，n∈N＋，n≥2，則1／n＝m／（mn）。

如：1／2＝3／6，1／3＝2／6，

1／2＝6／12，1／3＝4／12，1／4＝3／12，1／6＝6／12，

5／4＝1＋1／4＝1＋5／20＝20／20＋5／20＝25／20，3／5＝4／20，1／10＝2／20，

一般地，不同分母的正分數，可以由此化為同分母的分數，然後由實際意義可作正分數加減法。如：1／2＋1／3＋1／4＝6／12＋4／12＋3／12＝13／12，

3／5＋1／4＋2／7＝84／140＋35／140＋40／140＝（84＋35＋40）／140=159/140=1 19/140=1（19/140）。

7／10-5／35＝49／70-10/70=（49-10）/70=39/70。

反過來：k∈N＋，m∈N＋，n∈N＋，m≥2，n≥2，則km／（nm）＝k／n。

這個過程我們叫做約分。約分将要求出分子分母的最大公約數，然後将分子分母的最大公約數約去，得到的分數就不可能再約分了，這樣的分數叫最簡分數。

即：若一個正分數的分子與分母沒有大于1的約數，則稱分子，分母這兩個正整數互質，這個分數為最簡分數，一般地任一個正分數應寫成最簡分數，這樣我們看到的某個分數就是唯一的，也是統一的。

若一個正分數的分子與分母有大于1的約數，則可将這個約數約去，得到的分數值不變。

由前可見不同分母的加減法，應先将分母變成相同的，即先變成同分母加減。而同分母加減，隻需将分子加減，分母不變。

将異分母分數化為同分母分數的過程，稱為通分。通分常将各分數變成以各分母的最小公倍數為分母的分數為簡便。通分是作分數加減法必不可少的步驟。

為使通分簡便，常須求分母的最小公倍數，而一個分數約成最簡分數，則需約去分子分母的最大公約數。

幾個正整數的最大公約數及最小公倍數可如下求：

①将各數寫成大于1的質數之積，

②找出所有公有的質因數，它們相乘得到最大公約數，

③找出所有不同的質因數，它們相乘得到最小公倍數。

如：求24，30的最小公倍數和最大公約數。

解：∵24＝2×2×2×3，

30＝2×3×5，

∴最小公倍數為2×2×2×3×5＝120，最大公約數為2×3＝6。

可見有如下約分和通分：

24/30=4/5，

5/24 7/30

=25/120 28/120

=53/120，

7/30-5/24

=28/120-25/120

=3/120=1/40。

一般地，若兩個正分數相減，其差為一個正分數，即大于0，則稱被減數大于減數。

如∵7/30-5/24

=28/120-25/120

=3/120=1/40＞0，

∴7/30＞5/24。

又如：5/3-37/33

=（165-111）/99

=54/99＞0，

∴5/3＞37/33。

可見自然數與正分數合在一起後，其中兩數差大于0，則被減數大于減數。

正分數中有的小于1，有的大于1。我們将小于1後正分數叫真分數，将大于1的分數叫假分數。

每個假分數可以化為一個正整數加上一個真分數的形式。将這個形式中的加号去掉，将整數寫在前面，緊接着寫上後面的真分數，變成一個數，我們稱為代分數。

如：5/3=1 2/3=1（2/3）。

37/33=1 4/33=1（4/33）。

有了代分數後，正分數的加減法就可先将分數化成代分數，然後整數部分相加減，加上分數部分相加減。

如：5/3＋37/33

＝1（2/3）＋1（4/33）

=（1＋1） （2/3＋4/33）

=2 （66＋12）/99

=2（78/99）。

5/3-37/33

＝1（2/3）-1（4/33）

=（1-1） （2/3-4/33）

=0 （66-12）/99

=54/99。

可見這樣可以簡化運算，免得計算中有些數過大。

可以證明自然數加上正分數後，加法是封閉的，且滿足交換律，結合律。

2.正分數的乘法

顯然：m∈N＋，n∈N，＋k∈N＋，n≥2時，

1／n＋1／n＋…＋1／n＝m個1／n之和＝m／n。

k／n＋k／n＋…＋k／n＝m個k／n之和＝（mk）／n。

即正整數乘以一個正分數，分母不變，隻需将分子相乘。

∵将1的兩個1／2均分成三等份，相當于将1六等份，

∴一份為1的1／6＝1／（2×3）＝（1／2）×（1／3）份。

同樣的，先将1分成n等份，得到n個1／n，然後再将每個1／n份m等份，共得到mn個1／（mn），其中k份就是1的k／（mn）倍。∴（1/n）×（1／m）＝1／（mn），（1/n）×（k／m）＝k／（mn）。

一般地：

m，n，k，l∈N＋時，有：

（m／n）×（l／k）＝（ml）／（nk）。

即兩個正分數相乘，份得到一個正分數，把分子相乘作為分子，把分母相乘作為分母。

如：（5/22）×（11／10）

＝（5×11）／（22×10）

＝5／（2×10）

＝1／（2×2）

＝1／4。

可以證明自然數加上正分數後，乘法是封閉的，且滿足交換律，結合律，乘法對加法滿足分配律。

3.正分數的除法

∵（2/3）×（3/2）

＝6／6＝1，

（12/17）×（17/12）

＝（12×17）／（17×12）

＝1，

一般地（n／m）×（m／n）

＝（mn）／（mn）＝1。

∴一個正分數的分子分母互換後得到的分數與這個分數本身相乘，得到積為1。

我們稱這樣的兩個正分數互為倒數。

因定義除法為乘法的逆運算，所以由（n／m）×（ml／nk）＝（mnI）／（mnk）＝l／k得：

（l／k）÷（n／m）＝（ml）／（nk）＝（丨／k）×（m／n）

即有：兩個正分數相除，即把被除分數乘以除數的倒數。

如：（3／8）÷（2／3）

＝（3／8）×（3／2）

＝9／16。

4÷（2／3）÷（6／7）

＝（4／1）×（3／2）×（7／6）

＝（4×3×7）／（1×2×6）

＝（12×7）／12

＝7。

可以證明：自然數加上正分數後，除法（除數不為0）是封閉的。即：任一個自然數或正分數除以一個非零自然數或正分數，其商仍為一個自然數或正分數。

這是自然數中或整數中所沒有的性質。因不管是自然數中，還是整數中，除法是不封閉的。

但是，自然數加上正分數後，減法是不封閉的，所以我們還要将數擴充，讓數的性質更趨完備，完美。

4.負分數和有理數

由實際意義存儲3／4與取出3／4合起來為0，用式子表示為：

3/4 （-3/4）=0，我們稱-3/4為3/4的相反數，3/4為-3/4的相反數。

同樣運出25/3與運進25/3正好抵消，用式子表示為：（-25/3） 25/3=0，稱-25/3為25／3的相反數，25/3為-25／3的相反數。

一般地，任一個正分數的相反數為一個負分數，任一個負分數的相反數為一個正分數。

一個正分數對應一個相反數，這個相反數記法：将原正分數前加上一個-号。我們稱這個相反數為負分數。

負分數就是一個正分數前加上一個“-”号，這是一種規定的記法。

由實際意義，規定負分數小于0，當然小于正分數。

同整數絕對值定義一樣，規定：正分數的絕對值為它本身，負分數的絕對值為其相反數。

由于欠錢的越多表明富有程度越低，自己的财富越少，所以規定兩個負分數，絕對值大的反而小，絕對值小的反而大。

如0＞（-2/3）＞（-7/6）（-59/23）。

也即有：自然數和正分數加在一起後，取其中兩數，則大數的相反數小，其中小數的相反數大。

這樣就把整數和分數合起來後，其中任兩個數的大小搞清楚了。

一般地，我們常将最簡分數不是整數的分數叫分數，分數包括正分數，負分數，最簡分數為整數的數為仍叫整數。

所有的正分數，負分數統稱為分數，所有的整數與分數統稱為有理數。

正整數和正分數統稱為正有理數，負整數和負分數統稱為負有理數。

可見：有理數由正有理數，零，負有理數組成。有理數也由整數和分數組成。

所有的有理數組成的一個集合，稱為有理數集，常用字母Q表示。

如：3∈Q，3／7∈Q，100/3∈Q，0∈Q，

-3∈Q，-（3／7）∈Q，-（100/3）∈Q。

但3∈Z，-3∈Z，0∈Z成立，

3／7∈Z，100/3∈Z，-（3／7）∈Z，-（100/3）∈Z是不成立的。

5.有理數的加減乘除四則運算

由于在整數和正分數的基礎上，又引進了一類新數：負分數，才得到有理數，現問有理數運算會出現哪些不同，又有哪些相同呢？

（1）、關于加法：

兩個負分數怎麼加？多個呢？

兩個負有理數怎麼加？多個呢？

一個大于等于0的有理數與一個負有理數怎麼加？多個呢？

兩個有理數怎麼加？多個呢？加法有什麼性質和運算律？

（2）、關于減法：

兩個有理數怎麼減？

減法有什麼性質和運算律？

（3）、關于乘法：

兩個負分數怎麼乘？多個呢？

兩個負有理數怎麼乘？多個呢？

一個大于等于0的有理數與一個負有理數怎麼乘？多個呢？

兩個有理數怎麼乘？多個呢？乘法有什麼性質和運算律？

（4）、關于除法：

兩個有理數怎麼除？

除法有什麼性質和運算律？

弄清楚了這些，所有的有理數的知識系統就建構完成了。

至此為止，我們會發現：

①有理數的加減乘除四則運算都是封閉的。這是至今一個最完備、完美的一個數系。

②有理數是可以比較大小的。

③有理數都是可以進行加減乘除四則運算的。

④所有的有理數都是由1進行加減乘除運算而得到，即1生有理數。顯示1的重要性。

1-1＝0。a∈Q時a-a＝0，0＋a＝a＋0＝a，a-0＝a，0-a＝-a，0×a＝a×0＝0。0不能作除數。0即不是正有理數，又不是負有理數。

這一系列性質，表明0的特殊性。

⑤有理數還有一個重要的新性質：有理數是至密的。

即任兩個有理數之間仍有有理數，且有無數個新的有理數。

如：1與2之間有無數多的有理數：1/2，1/3，1/4，1/5，…，1/10000，…。

一般地：任取a∈Q，b∈Q，a＜b，則：a與b之間有無數多的有理數：（b-a）/2，（b-a）/3，（b-a）/4，（b-a）／5，…，（b-a）／10000，…。

但但整數集系統中不具備這個性質，即兩個整數存在一個最小距離（兩數差的絕對值稱為這兩數之間的距離），顯然為1。

即：a∈Z，b∈Z時，la-b丨≥1。

我們稱整數是孤立的。

但：a∈Q，b∈Q時，找不到一個正有理數m，使la-b丨≥m恒成立。

所以有理數不是孤立的，而是至密的。

那現在我們要問？由于有理數具有至密性，即兩個有理數之間的距離沒有最小值，可以永遠小下去。這說明有理數不是孤立的嗎？哪有理數之間是不是就沒有其它的數？還是有其它的數将它們隔開呢？

你能猜出有關正确結論嗎？

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!