# 傳北大校友華裔數學家張益唐攻克數學界一猜想東坤學習網

網傳北大校友78級數學系畢業的，美籍華裔數學家張益唐在參加北京大學校友Zoom線上會議時親口說，已經攻克了朗道-西格爾零點猜想。而有人預計張益唐的文章會在11月初刊發出來。直到1999年，在北大師弟葛力明幫忙下，張益唐來到新罕布什爾大學擔任臨時講師。東坤學習網

本書是同濟大學數學系《高等數學》( 第7版) (下冊)教材的配套題庫,主要包括以

下内容:

第一部分為考研真題精選。本部分精選了近年考研真題,按照教材的章節分類,并提

供了詳解。通過本部分,可以熟悉考研真題的命題風格和難易程度。

第二部分為章節題庫。結合國内近些年的考研真題和考查重點,根據該教材的章目進

行編排,精選典型習題并提供詳細答案解析,供考生強化練習。反函數與複合函數

①反函數的特點

a．函數f和反函數f－1的單調性一緻。

b．f的圖像和f－1的圖像關于直線y＝x對稱。

②複合函數

g與f能構成複合函數f°g的條件是：f的定義域與g的值域的交集不能為空集。

（3）函數的運算

設函數f（x），g（x）的定義域為Df，Dg，且定義域有交集為D，則可定義這兩個函數的下列運算

和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。

積f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。

商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。

（4）初等函數

5類基本初等函數：幂函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。

二、數列的極限

1數列極限的定義

數列{xn}收斂于a⇔

⇔∀ε＞0，∃正整數N，當n＞N時，有|xn－a|＜ε。

數列{xn}是發散⇔

不存在。

2收斂數列的性質

（1）唯一性

如果數列{xn}收斂，則它的極限唯一。

（2）有界性

如果數列{xn}收斂，則數列{xn}一定有界。

①有界數列：存在正數M，使得對于一切xn都滿足不等式|xn|≤M。

②無界數列：不存在正數M，使得對于一切xn都滿足不等式|xn|≤M。

（3）保号性

如果

，且a＞0（或a＜0），則存在正整數N＞0，當n＞N時，都有xn＞0（或xn＜0）。

推論：如果數列{xn}從某項起有xn≥0（或xn≤0）且

，則a≥0（或a≤0）。

（4）收斂數列與其子數列間的關系

①如果數列{xn}收斂于a，則它的任一子數列也收斂，且極限也是a。

②如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，則數列{xn}是發散的。

③一個發散的數列也可能有收斂的子數列。

三、函數的極限

1函數極限的定義

（1）函數f（x）極限的兩種情形

①自變量x趨于有限值x0時函數的極限

隻有

及

都存在并且相等時，x→x0時極限存在。

②自變量x趨于無窮大時函數的極限

⇔∀ε＞0，∃δ＞0，當|x|＞X時，有|f（x）－A|＜ε。

2函數極限的性質

（1）唯一性

如果

存在，則這極限唯一。

（2）局部有界性

如果

，則存在常數M＞0和δ＞0，使得當0＜|x－x0|＜δ時，有|f（x）|≤M。

（3）局部保号性

①如果

，且A＞0（或A＜0），則存在常數δ＞0，使得當0＜|x－x0|＜δ時，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。

②如果

，則存在着x0的某一去心鄰域U°（x0），當x∈U°（x0）時，有|f（x）|＞|A|/2。

③如果在x0的某去心鄰域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且

，則A≥0（或A≤0）。

（4）函數極限與數列極限的關系

如果極限

存在，{xn}為函數f（x）的定義域内任一收斂于x0的數列，且滿足：xn≠x0（n∈N＋），則相應的函數值數列{f（xn）}必收斂，且

。

四、無窮小與無窮大

1無窮小

若

，稱f（x）是x→x0時的無窮小量。

2無窮大

（1）定義

若

，稱f（x）是x→x0時的無窮大量。

（2）漸近線

設曲線y＝f（x）

①斜漸近線y＝kx＋b

特别地，當k＝0時，曲線有水平漸近線y＝b。

②垂直漸近線

若

（或者左、右極限趨于無窮），則垂直漸近線為x＝x0。

3無窮大與無窮小之間的關系

在自變量的同一變化過程中，如果f（x）為無窮大，則1/f（x）為無窮小；反之，如果f（x）為無窮小，且f（x）≠0，則1/f（x）為無窮大。

五、極限運算法則

1極限運算法則相關定理

（1）定理1

兩個無窮小的和是無窮小，有限個無窮小之和也是無窮小。

（2）定理2

有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

①推論1：常數與無窮小的乘積是無窮小。

②推論2：有限個無窮小的乘積是無窮小。

（3）定理3

如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，則

①lim[f（x）±g（x）]＝limf（x）±limg（x）＝A±B；

②lim[f（x）·g（x）]＝limf（x）·limg（x）＝A·B；

③若又有B≠0，則lim（f（x）/g（x））＝limf（x）/limg（x）＝A/B

a．推論1：如果limf（x）存在，而c為常數，則lim[cf（x）]＝climf（x）；

b．推論2：如果存在，而n是正整數，則lim[f（x）]n＝[limf（x）]n。

（4）定理4

設有數列{xn}和{yn}，

，則

①

；

②

；

③當yn≠0（n＝1，2，…）且B≠0時，

。

（5）定理5

如果φ（x）≥ψ（x），而limφ（x）＝A，limψ（x）＝B，則A≥B。

（6）定理6（複合函數的極限運算法則）

設函數y＝f[g（x）]是由函數u＝g（x）與函數y＝f（u）複合而成，f[g（x）]在點x0的某去心鄰域内有定義，若

，

，且存在δ0＞0，當x∈U（x0，δ0）時，有g（x）≠u0，則

2x→x0時有理分式函數的極限

設多項式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an，則

又設有理分式函數F（x）＝P（x）/Q（x），其中P（x），Q（x）都是多項式，于是

如果Q（x0）≠0，則

注：若Q（x0）＝0則關于商的極限的運算法則不能應用，那就需要特别考慮。

六、極限存在準則及兩個重要極限

1極限存在準則

（1）夾逼準則

①夾逼準則1

如果數列{xn}，{yn}及{zn}滿足下列條件：

a．從某項起，即∃n0∈N＋，當n＞n0時，有yn≤xn≤zn；

b．

，則數列{xn}的極限存在，且

。

②夾逼準則2

a．當x∈U°（x0，r）（或|x|＞M）時，g（x）≤f（x）≤h（x）；

b．

，則

存在，且等于A。

（2）單調有界準則

單調有界數列必有極限。

（3）左極限存在準則

設函數f（x）在點x0的某個左鄰域内單調并且有界，則f（x）在x0的左極限f（x0－）必定存在。

（4）柯西極限存在準則

數列{xn}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數ε，存在正整數N，使得當m＞N，n＞N時，有|xn－xm|＜ε。

2兩個重要極限

，

3常見函數的極限

（1）

。

（2）

。

（3）

（令t＝arcsinx）。

（4）

（令t＝－x）。

（5）

（sinx有界，1/x（x→∞）為無窮小），

。

（6）

，其中a0≠0，b0≠0，m和n為非負整數。

（7）幂指函數的極限

一般地，對于形如u（x）v（x）（u（x）＞0，u（x）≠1）的函數（通常稱為幂指函數），如果limu（x）＝a＞0，limv（x）＝b，limu（x）v（x）＝ab。

注：這裡三個lim都表示在同一自變量變化過程中的極限。

4有關sinx，x，tanx的不等式

sinx＜x＜tanx，∀x∈（－π/2，0）或（0，π/2）

七、無窮小的比較

1相關無窮小的定義（見表1-2）

表1-2　相關無窮小的定義

2定理

設α～α～，β～β～且lim（β～/α～）存在，則lim（β/α）＝lim（β～/α～）。

3常用的等價無窮小

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1－cosx～x2/2（x→0），ln（1＋x）～x（x→0），ex－1～x（x→0），（1＋x）α－1～αx（x→0）

八、函數的連續性與間斷點

1函數的連續性

（1）連續

f（x）在x0連續⇔∀ε＞0，∃δ＞0，當|x－x0|＜δ，有|f（x）－f（x0）|＜ε。

（2）左連續和右連續

①左連續

若

，則稱f（x）在點x0處左連續。

②右連續

若

，則稱f（x）在點x0處左連續。

③連續函數

在區間上每一點都連續的函數，稱為在該區間上的連續函數，又稱函數在該區間上連續。

④有理分式函數的連續性

對于有理分式函數F（x）＝P（x）/Q（x），隻要Q（x0）≠0，則

，因此有理分式函數在其定義域内的每一點都是連續的。

2函數的間斷點的類型（見表1-3）

表1-3　函數間斷點的類型

九、連續函數的運算與初等函數的連續性

1連續函數的和、差、積、商的連續性

設函數f（x）和g（x）在點x0連續，則它們的和（差）f±g、積f·g及商f/g（當g（x0）≠0時）都在點x0連續。

2反函數與複合函數的連續性

（1）反函數的連續性

如果函數y＝f（x）在區間Ix上單調增加（或單調減少）且連續，則它的反函數x＝f－1（y）也在對應的區間Iy＝{y|y＝f（x），x∈Ix}上單調增加（或單調減少）且連續。

（2）複合函數的連續性

①定理1

設函數y＝f[g（x）]由函數u＝g（x）與函數y＝f（u）複合而成，U°（x0）⊂Df°g。若

，而函數y＝f（u）在u＝u0連續，則

②定理2

設函數y＝f[g（x）]是由函數u＝g（x）與函數y＝f（u）複合而成，U（x0）⊂Df°g。若函數u＝g（x）在x＝x0連續，且g（x0）＝u0，而函數y＝f（u）在u＝u0連續，則複合函數y＝f[g（x）]在x＝x0也連續。

3初等函數的連續性

（1）基本初等函數在它們的定義域内都是連續的。

（2）一切初等函數在其定義區間内都是連續的。

十、閉區間上連續函數的性質

1函數f（x）在閉區間[a，b]上連續

如果函數f（x）在開區間（a，b）内連續，在右端點b左連續，在左端點a右連續，則函數f（x）就是在閉區間[a，b]上連續。

2閉區間上連續函數的性質（見表1-4）

表1-4　閉區間上連續函數的性質

3一緻連續性

（1）一緻連續與連續的關系

如果函數f（x）在區間I上一緻連續，則f（x）在區間I上一定連續；當f（x）在區間I上連續，f（x）在區間I上不一定一緻連續。

（2）一緻連續性定理

如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則它在該區間上一緻連續。

❸設函數f( u, v)具有2階連續偏導數，函數g(x,y) =xy-f(x y , x-y) ,求o2g/

0x2 o2g/ (0x0y) o2g/0y2。 [數三2019研]

解:首先求g(x,y)對x、y的一-階偏導數eg/x=y - f1'-f2' , ag/@y=x-f' f2'。

因為f(u, v)具有2階連續偏導數,所以有f12”=f21”,進-步可得g對x、y的二階偏導數:

2g/ex2= - f11"-f12"-f21"-22”= -f11"- 2f12"-22”

2g/ (Cx6y) =1-f11" f12"-f21" f22"=1- f11" f22"

e2g@y2= - f11" f12" f21"-22”= -f1" 2f12”- f2”

因此2g/0x2 2g (0x6y) 2gey2=1-3f11”- f2”"。

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