（一）。前人之路 。 孿生素數猜想作為最著名的數學難題之一，孿生質數猜想已經困擾了數學家一個多世紀。如果能夠解決這一難題，我們把一對彼此相差2的質數叫做孿生質數，比如5和7，17和19等等。孿生質數猜想預測，在所有的自然數或整數中，這樣的質數有無數對。在過去十年中，數學家們在這一問題上做出了突破性的進展，但是還遠沒到解決它的程度。

哥倫比亞大學的威爾·薩溫（Will Sawin）和威斯康辛大學麥迪遜分校的馬克·舒斯特曼（Mark Shusterman）給出了一份新證明。他們在一個更小但依然十分重要的數學世界——有限域系統（finite field system）中證明了孿生質數猜想是正确的。在這樣的系統下，人們可以隻處理少量的數字。

麻雀雖小，五髒俱全。有限域系統仍保留着整數域的許多性質。數學家們嘗試在有限域中回答算術學的問題，并期望将這些結果應用到整數中去。“說起來可能有些天真：我們的最終夢想是，如果對有限域的世界理解得足夠好，你就能解釋整數世界。”梅納德說。

在有限域系統中，除了證明孿生質數猜想，薩溫和舒斯特曼還得到了一個效力更廣的結果。他們證明了在短間隔中，孿生質數究竟多久出現一次。這一結果對孿生質數現象可謂是掌握到了極度精确的地步。數學家們做夢都想在普通的數字上得到這樣的結論，所以，凡是相關的證明，他們都會找來細細研究，以期得到新思路，新啟發。

新型質數

最著名的孿生質數猜想說的是，有無數對彼此相差2的質數。但是一個更加廣義的命題預測，質數對的差距可以是任意常數，比如，你可以在自然數中找到無數對像3和7一樣相差4的質數，或者像293和307一樣相差14的質數。

這個更加廣義的命題是法國數學家阿爾方斯·德·波林那克（Alphonse de Polignac） 在1849年提出的。在接下來的160年中，數學家們進展甚微。但是到了2013年，堡壘被攻破了，或者至少出現了顯著的裂痕。那年張益唐證明了有無數對間隔不超過7000 0000的孿生質數。在接下來的一年中，其他數學家，包括梅納德和陶哲軒，顯著縮小了這一質數間隔。目前，已經被證明的孿生質數猜想，其間隔已經縮小至246。

但是，孿生質數問題的進展就此停滞了，數學家明白，如果要徹底解決這一問題，他們需要一個全新的思路。而有限域系統就是一個尋找新思路的好地方。

為了構建一個有限域，可以先從自然數中提取一個有限的子集，可以選取頭五個（或者任意質數個）數字。我們用表盤（而不是通常使用的數軸）來将這些數字直觀地表示出來。

直覺會告訴你，運算沿着順時針方向進行。在有限域系統中，4 3是多少？我們可以從4開始，沿着表面數三個格子，到達2的位置。減法、乘法和除法的工作原理也是相似的。

圖注：有限數字系統。一個有限域含有有限個元素。（通常是質數個）左圖展示了5個元素的有限域，右圖是在此有限域中的加法運算過程。

隻有一個陷阱。典型的質數概念在有限域系統裡似乎講不通。在有限域中，每個數字都可以被其它數整除。例如，7通常不能被3整除，但在一個有5個元素的有限域中卻是可以的。那是因為，在這個有限域中，7和12是同一個數字，它們都降落在鐘面上2的位置。所以7除以3等于12除以3，12除以3等于4。

有限域中不存在質數，那麼，在有限域中我們用質數多項式來類比整數域中的質數。有限域中的孿生質數猜想讨論的，是像x^2 1這樣的數學表達式。

質數多項式是什麼？對于一個隻包含1，2，3的有限域，這個有限域内的多項式的系數隻能從1，2，3中選取。而“質數”多項式就是不能被因式分解的多項式。所以x^2 x 2是質數多項式，因為它不能被分解，但x^2-1不是質數多項式，它是x 1和x-1的乘積。

接下來，你自然會問到孿生質數多項式：一對多項式，它們既是質數多項式，又隔着一個固定的間隙。例如，多項式x^2 x 2是質數多項式，x^2 2x 2也是質數多項式。兩者相差多項式x（第一個多項式加x就得到第二個）。

有限域的孿生質數猜想推測，有限域中存在着無數多對孿生質數多項式，它們不一定相距x，可以相距任意間隔。

圖注：素數多項式是什麼？一個素數多項式隻有一個素數因子式——它自己。如上圖：x^2 x 2具有素數性質，因為它不能被因式分解；x^2-1不具有素數性質，它是x 1和x-1的乘積。

庖丁解牛

有限域和質數多項式看起來可能太不自然了，人為設計的痕迹明顯，在研究一般數字方面用處不大。但它們很像飓風模拟器——一個自給自足的獨立宇宙，能夠對更廣闊世界中的現象提供洞見。

舒斯特曼說：“把整數問題和多項式問題相互轉化，這一做法自古就有。雖然轉化來轉化去，問題可能依然困難，但多項式版本的問題更可解了。”

20世紀40年代，安德烈·威爾（André Weil）将有限域系統中的算術學，準确地應用到了整數域。于是，有限域突然變得聲名顯赫起來。威爾利用有限域和整數域的這種聯系達到了驚人的效果。他證明了數學中最重要的問題——黎曼猜想——的簡化版本，即關于有限域中曲線的問題（也被稱作幾何黎曼猜想）。這一證明，再加上威爾提出的一系列附加猜想——威爾猜想，讓人們确信，在數學世界的探索中，有限域是一片景色绮麗的富饒之地。

（二）。孿生素數公式裡的新解。

看一看下面一個有關素數在自然整數數軸上，1，2，3。。。。。。N。的一個排列現象，即：

2， 3， 4， 5， 6， 7。

8， 9， 10，1 1 12， 13 。

14 15，16，17，18， 19。

。。。。。。

這樣就變成了一個所有自然整數2，3。4。。。。。。的方陣。就象這樣子一直寫下去，你就會發現這樣一個規律：所有素數都排列在6的倍數的兩邊。這樣就可以得出一個所謂求取素數的公式。即：6N士1。這個所謂的求取素數的公式，我曾在上世紀八九十年代的《我們愛科學》雜志上看到過。被稱為求取素數的公式。 如果将其方陣變幻一下，會是個什麼樣子呢。如果将自然整中的奇數1，3，5，7，。。。。。。按每三個數排列成方陣。 即： 1， 3 ， 5， A 7 ， 9， 11， A 13， 15， 17， A 19 ， 21， 23， A 25， 27， 29， A. 。。。 。。。 從上面的這個方陣中可以看出：（1）。它是上面的所謂素數公式的方陳排列進行了一個簡化，變成了一個3N土2的公式。（2）所有3的倍數被排在了中間。 從上面的排列中可以看出：在自然整數中奇數的排列中，所有素數都可以以3N十1，或3N一1，式中求出，而孿生素數可以寫成3N士1，或3N幹1，的形式。 那麼，怎麼用方陣式求出素數和孿生素數呢，其實很簡單，你隻要注意一下，上面的方陣上，3的平方等于9，9以下兩邊的數沒有一個合數，這樣就求出了1和3，5和7兩對孿生素數，和1，3，5，7，四素數，這樣，3的平方9以下所有素數就都求出來了。

那麼，9以上的素數和孿生素數怎麼能求出呢，其實很簡單，你隻需要把3的倍數兩邊的數分别順次以每5個數字為一行，列出兩個方陣，這樣就把5的倍數請到了方陣的中間，這兩個方陣就叫做5的方陣，這樣就可以把5的平方等于25以下所有的素數和孿生素數求出來了.。如法炮制，可以列出素數7的八個方陣。求出7的平方等幹49以下所有的素數和孿生素數了。如此炮制下去。。。。。，就可以列出自然數整數中所含全部素數的方陣，而求出他們所含有的全部素數和孿生素數了。

這也是一個求取素數的篩法，隻需要列出素數的方陣，把素數的倍數請到方陣的中間，就萬事大吉了，你說簡單吧。尊敬的讀者。你試一下，能列出多少個素數的方陣呢，有興不防一試。

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