許多同學在做題時碰到一些與圓有關的最值問題，往往無從下手。其實隻要仔細觀察，分析圖形，尋找動點與定點之間不變的維系條件，構建關系，将研究的問題轉化為變量與常量之間的關系，就能找到解決問題的突破口！關于圓的最值問題多出在選擇題或填空題的壓軸題，小夥伴們，下面和大家一起研究這一題型。

招數1：利用軸對稱性轉化求最值

例1．如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D在直徑AB的同側半圓上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，動點P在直徑AB上，則CP PD的最小值是（ ）

A．2R B．√3R C．√2R D．R

【分析】首先要确定點P的位置，作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D，交圓于點P，則點P即為所求作的點．且此時PC PD的最小值為C′D．

【解答】作點C關于AB的對稱點C′，連接DC′，根據題意以及垂徑定理，得弧C′D的度數是120°，則∠C′OD＝120度．作OE⊥C′D于E，則∠DOE＝60°，則DE＝√3/2R，C′D＝√3R．故選：B．

【點評】此類題隻要是能夠正确确定點P的位置．此題綜合運用了垂徑定理、勾股定理進行計算．

例2．如圖，ABCD是⊙O内接矩形，半徑r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的動點，且AE＝CF，則BE BF的最小值是（ ）

A．√7 B．2√7 C．3√3 D．4√3

【分析】先根據圓内接矩形的四個角為90°的性質可知：AC為⊙O的直徑；根據軸對稱的性質，作輔助線，構建最短路徑時的點F，由兩點之間線段最短可知：此時BH最小，也就是BF OF為最小，接着證明OF＝BE即可，利用三角形全等可得結論；并利用勾股定理求出BH的長．

【解答】作O關于CD的對稱點H，連接OH，交CD于G，過H作直線BC的垂線，垂足為M，連接BH交CD于F，連接OF，此時BF OF為最小，

∴∠ABC＝90°，∴AC為⊙O的直徑，

∵半徑r＝2，AB＝2，∴OC＝AB＝OA＝OB＝2，

∴△OAB是等邊三角形，

∵ABCD是⊙O内接矩形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠BAO，

∵AB＝2，AC＝4，由勾股定理得：BC＝2√3，

∵AE＝CF，∴△ABE≌△COF，∴BE＝OF，

∴BE BF＝OF BF，由對稱性得：OF＝FH，OG＝GH，

∴BE BF＝BF FH＝BH，

∵OC＝OD，OH⊥CD，

∴CG＝DG＝1/2CD＝1/2AB＝1，

∵∠CGH＝∠GCM＝∠M＝90°，

∴四邊形GCMH是矩形，

∴CM＝GH＝1/2BC＝1/2×2√3＝√3，HM＝CG＝1，

在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH＝2√7，

即BF BE的最小值為2√7；故選：B．

【點評】本題考查了軸對稱的最短路徑問題、矩形、圓周角定理、勾股定理，此類題的關鍵是找到最短路徑中的動點的位置：可以通過軸對稱來确定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點；構建恰當的直角三角形，利用勾股定理計算線段的和取最小值時的長．

招數2：構建三角形的三邊的不等關系求最值

例3．如圖，兩同心圓半徑分别為√3、3，點A、B分别為兩同心圓上的動點，以AB為邊作正方形ABCD，則OD的最大值為________ ．

【分析】把AO繞點A順時針旋轉90°得到AO′，得到△AOO′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出OO′，再根據正方形的性質可得AB＝AD，再求出∠BAO＝∠DAO′，然後利用"邊角邊"證明△ABO和△ADO′全等，根據全等三角形對應邊相等可得DO′＝BO，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求解即可．

【解答】如圖，把AO繞點A順時針旋轉90°得到AO′，

∴△AOO′是等腰直角三角形，

∵AO＝3，∴OO′＝√2AO＝3√2，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，

∵∠BAO ∠BAO′＝∠DAO′ ∠BAO′＝90°，

∴∠BAO＝∠DAO′，

在△ABO和△ADO′，

AO=AO′, ∠BAO＝∠DAO′，AB=AD，

∴△ABO≌△ADO′（SAS），

∴DO′＝BO＝√3，∴OO′ O′D≥OD，

當O、O′、D三點共線時，取"＝"，

此時，OD的最大值為3√2 √3．故答案為：3√2 √3．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，利用旋轉作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．

例4．如圖，點O為原點，⊙O的半徑為1，點A的坐标為（2，0），動點B在⊙O上，以AB為邊作等邊△ABC（順時針），則線段OC的最小值為_______ ．

【分析】連接OB，以OB為邊作等邊△BOE，根據等邊三角形的性質可得BC＝AB，OB＝BE，∠ABC＝∠EBO＝60°，可得∠CBO＝∠EBA，根據"SAS"可證△BCO≌△BAE，可得OC＝AE，根據三角形的三邊關系可得OC的最小值．

【解答】如圖：連接OB，以OB為邊作等邊△BOE，

∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，

∴BC＝AB，OB＝BE，∠ABC＝∠EBO＝60°，

∴∠CBO＝∠EBA，且BC＝AB，BE＝BO，

∴△BCO≌△BAE（SAS）,∴OC＝AE，

在△AOE中，AE≥OE AO，

∴當點E在線段AO時，AE的最小值為1，

∴OC的最小值為1，故答案為：1

【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．

招數3：構造輔助圓轉化求最值

例5．如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4√2，∠ACB＝45°，AM∥BC，點P在射線AM．上運動，連接BP交△APC外接圓于D，則AD的最小值為______ ．

【分析】如圖，連接CD．首先證明∠BDC＝135°，由此推出點D在以O為圓心，OB為半徑的弧BC上運動（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，OB＝OC＝4），連接OA交弧BC于D′，此時AD′的值最小．

【解答】如圖，連接CD．

∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝45°，

∴∠CDP＝∠CAP＝45°，∴∠BDC＝135°，

∴點D在以O為圓心，OB為半徑的弧BC上運動（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，OB＝OC＝4），連接OA交弧BC于D′，此時AD′的值最小．

∵∠ACB＝45°，∠BCO＝45°，

∴∠ACO＝90°，∴由勾股定理得OA＝5，

∴AD′＝OA﹣OD′＝5﹣4＝1，∴AD的最小值為1．故答案為1．

【點評】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質、圓周角定理、勾股定理，點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造輔助圓解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

例6．如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優弧弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（ ）

A．1/2B．√2/2C．√3/2D．√3/4

【分析】連結OA、OB，如圖1，由OA＝OB＝AB＝1可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB＝60°，根據圓周角定理得∠APB＝1/2∠AOB＝30°，由于AC⊥AP，所以∠C＝60°，因為AB＝1，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB＝60°，可根據圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB＝120°，如圖2，于是當點C優弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．

【解答】連結OA、OB，作△ABC的外接圓D，如圖1，

∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，

∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝1/2∠AOB＝30°，

∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，

∵AB＝1，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，

∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，

如圖2，當點C優弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為√3/4AB²＝√3/4，∴△ABC的最大面積為√3/4．故選：D．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的判斷與性質；記住等邊三角形的面積公式．

招數4：活用直線與圓特殊位置關系求最值

例7．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半徑為1，點P在斜邊AB上，PQ切⊙O于點Q，則切線長PQ長度的最小值為（ ）

A．√7 B．2√2 C．3 D．4

【分析】當PC⊥AB時，線段PQ最短；連接CP、CQ，根據勾股定理知PQ²＝CP²﹣CQ²，先求出CP的長，然後由勾股定理即可求得答案．

【解答】當PC⊥AB時，PQ的長最短．在直角△ABC中，由勾股定理得AB＝4√2，PC＝1/2AB＝2√2．

∵PQ是⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，即∠CQP＝90°，

∴由勾股定理得PQ＝√7．故選：A．

【點評】本題考查了切線的性質以及勾股定理的運用；注意掌握輔助線的作法，注意當PC⊥AB時，線段PQ最短是關鍵．

例8.如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝√2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分别交AB、AC于E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為______ ．

【分析】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，由Rt△ADB為等腰直角三角形，則AD＝BD＝1，即此時圓的直徑為1，再根據圓周角定理可得到∠EOH＝60°，則在Rt△EOH中，利用銳角三角函數可計算出EH＝√3/4，然後根據垂徑定理即可得到EF＝2EH＝√3/2．

【解答】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝√2，

∴AD＝BD＝1，即此時圓的直徑為1，

∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，

而∠EOH＝∠FOH，∴∠EOH＝60°，

在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1/2•sin60°＝√3/4，

∵OH⊥EF，∴EH＝FH，∴EF＝2EH＝√3/2，

即線段EF長度的最小值為√3/2．故答案為√3/2．

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了垂線段最短和解直角三角形．

綜上所述，與圓有個最值問題多為在存在動點或者不确定的位置關系的情況下求最值，最終可化歸兩種解題思路，一個是通過幾何圖形的性質實現對位置的确定，另一個是通過數量關系實現最值問題的解答.主要用到性質：①三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;②兩點間線段最短;③連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短;④定圓中的所有弦中，直徑最長。需要配套練習可私信與我。

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