嚴格的說，這篇文章的題目應該叫“二階矩的日曆效應”，因為它包括日收益率自身的波動率以及不同交易日之間收益率的協方差。但顯然，“波動率”是個更接地氣的稱呼。

言歸正傳，投資者對股市中的很多收益率的日曆效應并不陌生，比如華爾街流行的“Sell in May”和“January Barometer”，以及 A 股中流傳的“星期四法定砸盤日”等。

本文想從波動率的角度解讀兩個日曆效應：

1. 在一周的五天中，哪天股市的波動率最大？這裡波動率定義為日收益率的方差或者标準差。
2. 如果以連續五天為基礎計算一周的周收益率，那麼周收益率的波動率是否和這五日的定義方法有關？（比如從上周五收盤到本周五收盤是一種定義方式，而從本周一收盤到下周一收盤則又是一種定義方式。）

在具體分析前不妨先給出結論：

1. 一周的五天中，周一的波動率最大。這個現象一般被稱為周末效應，它背後有多重原因。
2. 在計算周收益率時，如果這連續五天來自同一周（最常見的日曆周方式）、而非跨越兩個相鄰的周（比如本周二收盤到下周二收盤），則它的波動率最低。這得益于同一周内日收益率之間的負相關。

下面就以上證指數為例來解釋這兩個現象。

人們都有這樣的感受，即股價在周一的波動往往較星期内的其他幾天更大。以過去 15 年的上證指數為例，下圖為它在星期一到星期五這五天的對數收益率的箱體圖。使用對數收益率的原因是我們之後會使用 F 檢驗來判斷這些收益率的波動率是否相同，而 F 檢驗對待檢驗的随機變量是否滿足正态分布非常敏感。由于對數收益率比收益率更符合正态分布，因此我們使用對數收益率進行下面的計算。

從圖中直觀來看，星期一的對數收益率有更廣闊的分布，即更高的波動率。這五個工作日的對數收益率的标準差分别為：

• 星期一：0.019548
• 星期二：0.015297
• 星期三：0.015646
• 星期四：0.015835
• 星期五：0.014784

除星期一外，其他幾日的标準差都在 0.015 左右，而星期一的标準差則接近 0.02。我們自然無法忽視這樣的區别，它顯然代表着星期一的波動率和其他幾日在統計意義上顯著的不同。

為證明這一點，對标準差的平方即方差，兩兩進行 F 檢驗。原假設為被檢測兩日對數收益率的方差相同。在原假設下，上述标準差結果發生的概率為：

比如，上表中橫向星期一和縱向星期二對應的數值 2.645292e-11 意味着在原假設下，星期一和星期二的對數收益率的标準差出現如此之大差異的概率為 2.645292 的 -11 次方。如果以 1% 為置信水平（99% 的顯著性水平）為标準，那我們無疑可以輕松的拒絕星期一和其他任何一天方差相同的原假設。因此可以下結論說，在一周之内，周一的波動率最高，且該結果在統計上非常顯著。

接下來就要回答：為什麼呢？

由于周六和周日兩天休市，周一較前一個交易日（通常為上周五）之間隔了兩個休息日。與此相對應的是，周内的其他日子中較前一個交易日僅有一個隔夜。顯然，兩個休息日比一個隔夜有更大的可能性産生新的消息（不管是正面消息還是負面消息、不管是公司的消息還是監管的消息），這就造成了周一較其他交易日有更大的不确定性。這個高不确定性正是星期一高波動率的來源。高不确定導緻投資者以下四種行為：

1. 周五清倉：很多短線交易者不願意持倉過雙休日而選擇在周五清倉或者減倉。
2. 周一重新建倉：周五清倉的短線交易者通常會在周一重新買入加倉。這種情況在趨勢市場中更加明顯。
3. 周一調節倉位：長期投資者通常利用雙休日分析、消化前一周的各種信息，從而決定在新的一周買賣哪些股票。這類投資者會在周一對自己的頭寸進行調整。
4. 對消息的過度反應：當雙休日出現利好或者利空消息後，由于行為金融學的認知偏差，投資者會在周一産生過度反應并引發羊群效應，導緻對消息的過度解讀，從而造成周一收益率的大幅波動。

這些投資者行為的綜合作用貢獻了周一的高波動率。

接下來看看“周收益率”的情況。這裡，我們不局限于傳統日曆周的概念；把周收益率定義為連續五個交易日的收益率。在這種定義下産生了以下五種周收益率的計算方式：

顯然，除了第一種傳統的日曆周定義，在其他的四種定義下，它們包含的五個交易日都是跨周的。那麼，不同的定義對周收益率的波動率有什麼影響呢？回答這個問題對于周頻交易的量化策略非常有用。

我們仍然考慮對數收益率，因此周對數收益率等于這五個交易日對數收益率之和，即：

周對數收益率的波動率，即方差，可以寫成日對數收益率方差和協方差的和：

不論是否跨周，在這五種定義中，周一到周五均出現（且僅出現）了一次。因此，上式中的前五項對于這五種計算方式來說是相同的。所以，如果周對數收益率的波動率在這五種定義下不同，那一定是日對數收益率的協方差在這五種定義下不同。

結果是不是如此呢？先看數字。在這五種定一下，周對數收益率的标準差分别為：

• 上周五收盤到本周五收盤（傳統的日曆周）：0.034370
• 本周一收盤到下周一收盤：0.038064
• 本周二收盤到下周二收盤：0.036826
• 本周三收盤到下周三收盤：0.035677
• 本周四收盤到下周四收盤：0.035597

從數值上來看，在傳統日曆周的定義下，周對數收益率的标準差最低。為此，我們有兩個猜想：

• 猜想一：同一周内的不同交易日的收益率存在負相關；
• 猜想二：不同周内交易日的收益率相關性為零。

從這兩個猜想出發，不難寫出這五種定義下，五個交易日的協方差矩陣（把協方差矩陣中的所有項相加就等于上面那個波動率的式子，即得到周對數收益率的波動率）。

定義 1：上周五收盤到本周五收盤（傳統的日曆周）——的協方差矩陣如下。為方便說明，M、T、W、R、F 分别代表周一、周二、周三、周四和周五。矩陣中的對角線上的元素為方差項，非對角線上的元素——以 X 表示——代表非零的協方差項。根據猜想一，某些 X 的數值為負數。

定義 2：本周一收盤到下周一收盤——的協方差矩陣如下。由于這裡出現了跨周，因此我們在下周一的符号M上加上一個 ~ 标記，說明它和之前的 T、W、R、F 來自不同的周。同一周内的交易日之間仍然存在非零的協方差；但根據猜想二，屬于不同周的交易日之間協方差為零，協方差矩陣中的紅色的數字零正來自這個猜想。為了更清晰的表達，我們索性把 0 隐去，因此最終的協方差矩陣如下圖中最下方那個簡化版所示。

以此類推，可以寫出後面三個定義下的協方差矩陣：

根據猜想二，在所有跨周的定義中，協方差矩陣中都有一些元素為零。與之相反的是，在定義 1 中，由于五天來自同一周而根據猜想一它們之間存在負相關。因此，比較這五個協方差矩陣可以得到如下推論：

在定義 1 中，協方差矩陣中有更多的協方差元素為負。它們源于同一周内日對數收益率之間的負相關。因此，定義 1 下的周對數收益率的波動率（方差）較其它定義下的波動率更低。

我們可以通過數據來驗證猜想一。下表為同一周内不同日對數收益率之間的相關系數，可見确實存在負相關，且周一和周三、周二和周三、以及周三和周四之間的負相關都不低。另外周一和周二之間也存在負相關。

這其實不難理解。正如前面所說，周一的高波動率一定程度上源自市場對周末消息的過度解讀。當市場冷靜下來後，則會出現和周一相反的收益率，造成周二和周三在一定程度上和周一的收益率負相關。

對于一個周頻策略，它的核心就是想過濾掉更高頻率的噪聲。從這個意義上說，同一周内日收益率之間的負相關是非常有利的。因此，對于周頻策略，使用傳統的日曆周定義來計算周收益率是恰當的。

以上分析都是以上證指數為标的進行的。最後我們再來看看以上證 50、深圳成指、以及創業闆指數為标的的結果。

上證 50：

深圳成指：

創業闆：

結果表明，這幾個指數也都基本滿足上面的兩個現象，即周一的波動率最高，以及按照日曆周計算的周收益率的波動率最低。唯一的例外是上證 50。它按日曆周計算的波動率并不是五種定義下最低的。但是考慮到樣本誤差，以及它和最低值之間的細微差别，這個結果并不會改變本文的結論。

（全文完）

免責聲明：文章内容不可視為投資意見。市場有風險，入市需謹慎。

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