已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB中點，PM⊥PN。

（1）試确定AM，AC，BN三者數量關系；

（2）在MN延長線取一點Q，使得∠QBC=30°，補齊圖形，求證：QB=MC；

（3）在（2）的基礎上，∠MNP的平分線交CP于E，若QB=2，MN=(2√21)/3，求PE的長。

（1）不妨以點P為原點，AB為x軸建立直角坐标系，

令AC=a，AM=b，則可得A（-a，0），B（a，0），C（-a/2，√3a/2），

M（b/2-a，√3b/2）

根據坐标點可得直線BC：y=-√3/3x √3/3a

可令點N（x，-√3/3x √3/3a）

可得向量MP（b/2-a，√3b/2），向量NP（x，-√3/3x √3/3a）

∵ MP⊥NP

∴MP*NP =（b/2-a）x √3b/2（-√3/3x 3/3a）=0

解得：x=b/2，y=√3/6(2a-b），即N（b/2，√3/6(2a-b））

則向量NB（b/2-a，√3/6(2a-b））

可求得長度=√3/3（2a-b）

即BN=√3/3（2AC-AM）

（2）

過M作MD垂直AB交于點D，過N作NF垂直AB交于點F，

∵MP垂直NP，∠MPN=90°

∴∠MPA ∠NPB=90°

在△MDP中，∠DMP ∠MPA =90°，可得∠DMP=∠NPB·

∴△MDP∽△PFN

可得MD/PF=MP/PN

由（1）知，MD=√3AD=√3PF

可得MP/PN=√3

∴在Rt△MNP中，∠MNP=60°

在BA上取點Q”,使得BQ”=BQ,連接QQ”,

在四邊形NQBQ”中，可知BN垂直平分QQ”

則∠BNQ=∠BNQ”，NQ”=NQ,

在Rt△BNF中，∠FNQ” ∠BNQ”=60°

∠PNQ=120°，

∴∠PNF ∠BNQ”=60°，

∴∠PNF=∠FNQ”

可得△PNF≌△FNQ”，

則PF=FQ”，

QB= Q”B =PB-PQ”=AC-2PF=AC-2AD=AC-AM=MC

即證明。

3）

已知MC=QB=2，MN=2√21/3，則PN=√21/3，MP=√7，PG=√7/3

由MC=2，MN=2√21/3,可得CN=4√3/3

Cos∠CNP=(CN^2 NP^2-CP^2)/(2*CN*NP)

Cos∠CMP=(CM^2 MP^2-CP^2)/(2*CM*MP)= Cos（180°-∠CNP）=- Cos∠CNP

解得CP=3，

根據正弦定理可知

GE/(sin∠CPM)=PE/(sin60°)=GP/(sin⁡（120°-∠CPM）)

可知cos∠CPM=√7/7，則sin∠CPM=√42/7

可得PE=7/（3 3√2）

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